Adaptive estimation in the nonparametric random coefficients binary choice model by needlet thresholding
Résumé
In this article we consider the estimation of the joint distribution of the random coefficients and error term in the nonparametric random coefficients binary choice model. In this model from economics, each agent has to choose between two mutually exclusive alternatives based on the observation of attributes of the two alternatives and of the agents, the random coefficients account for unobserved heterogeneity of preferences. Because of the scale invariance of the model, we want to estimate the density of a random vector of Euclidean norm 1. If the regressors and coefficients are independent, the choice probability conditional on a vector of $d-1$ regressors is an integral of the joint density on half a hyper-sphere determined by the regressors. Estimation of the joint density is an ill-posed inverse problem where the operator that has to be inverted in the so-called hemispherical transform. We derive lower bounds on the minimax risk under $\xL^p$ losses and smoothness expressed in terms of Besov spaces on the sphere $\mathbb{S}^{d-1}$. We then consider a needlet thresholded estimator with data-driven thresholds and obtain adaptivity for $\xL^p$ losses and Besov ellipsoids under assumptions on the random design.
Dans cet article, nous considérons l'estimation de la distribution jointe des coefficients aléatoires et de du terme d'erreur dans le modèle non paramétrique du choix binaire à coefficients aléatoires. Dans ce modèle issu de l'économie, chaque agent doit choisir entre deux possibilités mutuellement exclusives à partir de l'observation d'attributs de ces deux alternatives et des agents, les coefficients aléatoires permettent de prendre en compte de l'hétérogénéité non observée des préférences. Du fait de l'invariance d'échelle du modèle, nous cherchons à estimer la densité d'un vecteur aléatoire de norme euclidienne 1. Si les regresseurs et les coefficients sont supposés indépendants, la probabilité de choix conditionné à un vecteur de $d-1$ régresseurs est une intégrale de la densité jointe sur une demi-sphère déterminé par ces régresseurs. L'estimation de cette densité jointe est un problème inverse mal posée dont l'opérateur à inverser est connu sous le nom transformée hémisphérique. Nous obtenons des bornes inférieurs sur le rique minimax pour les pertes $\xL^p$ et des régularité mesurés par des ellipsoïdes de Besov sur la sphère $\mathbb{S}^{d-1}$. Nous proposons ensuite un estimateur par seuillage en needlet avec des seuils adaptatifs et obtenons son caractère adaptatif sur ces ellipsoïdes de Besov pour les pertes $\xL^p$ sous des hypothèses faibles sur le design aléatoire.
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