Adaptive estimation in the nonparametric random coefficients binary choice model by needlet thresholding
Résumé
In the random coefficients binary choice model, a binary variable equals 1 iff an index $X^\top\beta$ is positive.
The vectors $X$ and $\beta$ are independent and belong to the sphere $\mathbb{S}^{d-1}$ in $\mathbb{R}^{d}$.
We prove lower bounds on the minimax risk for estimation of the density $f_{\beta}$ over Besov bodies where the loss is a power of the $\xL^p(\mathbb{S}^{d-1})$ norm for $1\le p\le \infty$.
We show that a hard thresholding estimator based on a needlet expansion with data-driven thresholds achieves these lower bounds up to logarithmic factors.
Dans le modèle du choix binaire à coefficients aléatoires, une variable binaire vaut 1 si et seulement si un indice $X^\top\beta$ est postif. Les vecteurs $X$ et $\beta$ sont indépendants et appartiennent à la sphère $\mathbb{S}^{d-1}$ de $\mathbb{R}^{d}$. Nous démontrons des bornes inférieures sur les risques minimax de l'estimation de la densité $f_{\beta}$ sur des espaces de Besvo lorsque la perte est une puissance de $\xL^p(\mathbb{S}^{d-1})$ norm pour $1\le p\le \infty$.
Nous montrons qu'un estimateur par seuillage dur dans une décomposition en needlet avec des seuils dépendants des données permet d'atteindre ces bornes inférieurs à un facteur logarithmique près.
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