Weighted Improper Colouring
Résumé
In this paper, we study a new colouring problem up to our best knowledge inspired by the imperative of practical networks. In real-life wireless networks, nodes interfere with one another with various intensities depending on numerous parameters: distance between them, the geographical topography, obstacles, etc. We model this with a noise matrix. The interference perceived by a node then is the sum of all the noise of the nodes emitting on the same frequency. The problem is then to determine the minimum number of colours (or frequencies) needed to colour the whole graph so that the interference does not exceed a given threshold. We provide several general results, such as bounds on this number of colours (e.g. a Brook's like theorem). We then study the practical case of square of infinite grids which corresponds to operators' network and a noise decreasing with the distance. We provide the chromatic number of the square, triangular and hexagonal grids for all possible admissible interference levels. Finally, we model the problem using linear programming, propose and test a heuristic and an exact branch&bound algorithms on random cell-like graphs, namely the Poisson Voronoi tessellations.
Dans cet article, nous etudions un nouveau problème de coloration motivé par les réseaux réels. Dans les réseaux sans fil, chaque noeud interfère avec un certain nombre de noeuds mais avec des intensités variables. En effet le niveau d'interférence entre deux noeuds peut dépendre, entre autres facteurs, de leur distance, de la géographie du réseau, de la présence de certains obstacles. Nous modélisons cela par une matrice de bruits. L'interférence engendrée sur un noeud u du réseau est alors la somme des bruits emis par les noeuds utilisant la même fréquence que u. Le problème est alors de déterminer le nombre minimum de couleurs (correspondant aux fréquences) pour colorier tout le graphe de telle sorte que l'interférence générée sur chaque noeud soit plus petite qu'un seuil donné. Nous prouvons des bornes pour ce problème, comme par exemple un théorème de type Brooks. Nous etudions ensuite le cas pratique des carrés de grilles infinies et de bruits diminuant avec la distance. Ces réseaux correspondent a des réseaux télécom. Nous calculons le nombre de couleurs minimum pour les grilles carrés, triangulaires et hexagonales pour toute valeur de seuil d'interférence. Enfin, nous proposons un programme linéaire, une heuristique et un algorithme exact d'énumération par séparation et evaluation. Nous les testons pour des graphes aléatoires ressemblant a des réseaux cellulaires, a savoir des tessellations de Poisson Voronoi.
Domaines
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