Weighted Improper Colouring
Résumé
In this paper, we study a colouring problem motivated by a practical frequency assignment problem and up to our best knowledge new. In wireless networks, a node interferes with the other nodes the level of interference depending on numerous parameters: distance between the nodes, geographical topography, obstacles, etc. We model this with a weighted graph G where the weights on the edges represent the noise (interference) between the two end-nodes. The total interference in a node is then the sum of all the noises of the nodes emitting on the same frequency. A weighted t-improper k-colouring of G is a k-colouring of the nodes of G (assignment of k frequencies) such that the interference at each node does not exceed some threshold t. The Weighted Improper Colouring problem, that we consider here consists in determining the weighted t-improper chromatic number defined as the minimum integer k such that G admits a weighted t-improper k-colouring. We also consider the dual problem, denoted the Threshold Improper Colouring problem, where given a number k of colours (frequencies) we want to determine the minimum real t such that G admits a weighted t-improper k-colouring. We show that both problems are NP-hard and first present general upper bounds; in particular we show a generalisation of Lovász's Theorem for the weighted t-improper chromatic number. We then show how to transform an instance of the Threshold Improper Colouring problem into another equivalent one where the weights are either 1 or M, for a sufficient big value M. Motivated by the original application, we study a special interference model on various grids (square, triangular, hexagonal) where a node produces a noise of intensity 1 for its neighbours and a noise of intensity 1/2 for the nodes that are at distance 2. Consequently, the problem consists of determining the weighted t-improper chromatic number when G is the square of a grid and the weights of the edges are 1, if their end nodes are adjacent in the grid, and 1/2 otherwise. Finally, we model the problem using linear integer programming, propose and test heuristic and exact Branch-and-Bound algorithms on random cell-like graphs, namely the Poisson-Voronoi tessellations.
Dans ce papier, nous étudions un nouveau problème de coloration motivé par un problème pratique d'allocation de frèquences. Dans les réseaux sans-fil, un noeud interfère avec les autres, à un niveau dépendant de nombreux paramètres : la distance entre les noeuds, la topographie physique, les obstacles, etc. Nous modélisons cela par un graphe arête-valué G où le poids d'une arête représente le bruit (ou l'interférence) entre ces deux extrémités. L'interférence totale au niveau d'un noeud est alors la somme de tous les bruits entre ce noeud et les autres noeuds émettant avec la même fréquence. Une k-coloration t-impropre pondérée de G est une k-coloration des noeuds de G (assignation de k fréquences) telle que l'interférence à chaque noeud n'excède pas un certain seuil t. Dans ce papier, nous étudions le problème de la coloration impropre pondérée qui consiste à déterminer le nombre chromatique t-impropre pondéré d'un graphe arête-valué G, qui est le plus petit entier k tel que G admette une k-coloration t-impropre pondérée de G. Nous considérons également le problème Threshold Improper Colouring (le problème dual) qui, étant donné un nombre de couleurs (fréquences), consiste à déterminer le plus petit réel t tel que G admette une k-coloration t-impropre pondérée. Nous montrons que tous ces problèmes sont NP-difficiles en présentant tout d'abord des bornes supérieures générales; en particulier nous prouvons une généralisation du théorème de Lovász pour le problème du nombre chromatique t-impropre pondéré. Nous montrons ensuite comment transformer une instance du problème Threshold Improper Colouring en une instance équivalente avec des poids 1 ou M, pour une valeur de M suffisamment grande. Motivé par l'origine du problème, nous étudions un modèle d'interférence particulier pour différentes grilles (carrée, triangulaire, hexagonale) où un noeud produit un bruit d'intensité 1 pour ses voisins et un bruit d'intensité 1=2 pour les noeuds à distance 2. Le problème consiste alors à déterminer le nombre chromatique t-impropre pondéré lorsque G est le carré d'une grille et que les poids des arêtes valent 1 si les deux noeuds extrémités sont adjacents dans la grille, et 1=2 sinon. Enfin, nous modélisons le problème par des programmes linéaires en nombres entiers, nous proposons des heuristiques et des algorithmes exactes d'énumération par la technique du Branch-and-Bound. Nous les testons pour des graphes aléatoires ressemblant à des réseaux cellulaires, à savoir des tessellations de Poisson-Voronoi.
Domaines
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