Clark-Ocone type formula for non-semimartingales with non-trivial quadratic variation
Résumé
We provide a suitable framework for the concept of finite quadratic variation for processes with values in a separable Banach space $B$ using the language of stochastic calculus via regularizations, introduced in the case $B= \R$ by the second author and P. Vallois. A special attention is devoted to the {\it window} process associated with a real finite quadratic variation process which takes naturally values in the Banach space $B= C([-\tau,0])$. An appropriated Itô formula is presented, from which we derive a generalized Clark-Ocone formula for non-semimartingales having the same quadratic variation as Brownian motion. The representation is based on solutions of an infinite dimensional PDE.
Nous présentons un cadre adhéquat pour le concept de variation quadratique finie lorsque le processus de référence est à valeurs dans un espace de Banach séparable $B$. Le langage utilisé est celui de l'intégrale via régularisations introduit dans le cas réel par le second auteur et P. Vallois. Une attention particulière est dédiée au cas où $B = C([-\tau,0])$ et le processus considéré est la {\it fenêtre} d'un processus réel à variation quadratique finie. Nous énonçons une formule d'Itô appropriée de laquelle nous déduisons une formule de Clark-Ocone relative à des non-semimartingales réelles ayant la même variation quadratique que le mouvement brownien. La représentation est basée sur des solutions d'une EDP infini-dimensionnelle.
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