Low-rank Factorizations in Data Sparse Hierarchical Algorithms for Preconditioning Symmetric Positive Definite Matrices
Résumé
We consider the problem of choosing low-rank factorizations in data sparse matrix approximations for preconditioning large scale symmetric positive definite matrices. These
approximations are memory efficient schemes that rely on hierarchical matrix partitioning and
compression of certain sub-blocks of the matrix. Typically, these matrix approximations can be
constructed very fast, and their matrix product can be applied rapidly as well. The common practice is to express the compressed sub-blocks by low-rank factorizations, and the main contribution
of this work is the numerical and spectral analysis of SPD preconditioning schemes represented
by 2×2 block matrices, whose off-diagonal sub-blocks are low-rank approximations of the original
matrix off-diagonal sub-blocks. We propose an optimal choice of low-rank approximations which
minimizes the condition number of the preconditioned system, and demonstrate that the analysis
can be applied to the class of hierarchically off-diagonal low-rank matrix approximations. Spec-
tral estimates that take into account the error propagation through levels of the hierarchy which
quantify the impact of the choice of low-rank compression on the global condition number are
provided. The numerical results indicate that the properties of the preconditioning scheme using
proper low-rank compression are superior to employing standard choices for low-rank compression.
A major goal of this work is to provide an insight into how proper reweighted prior to low-rank
compression influences the condition number for a simple case, which would lead to an extended
analysis for more general and more efficient hierarchical matrix approximation techniques.
Nous étudions un préconditionnement “data sparse” pour matrices symétriques
définies positives provenant de problèmes aux limites elliptiques du second ordre. Pour des prob-
lèmes de grandes tailles, des conditions aux limites quasi-singulières ou des géomètries complexes,
les matrices de discrétisation associées sont très mal conditionnées. Le recours à des méthodes
multi-niveaux sont souvent une nécessité pour obtenir une solution efficace. Nous proposons
un nouveau préconditionneur hiérarchique qui, dans le cas deux niveaux, est mimise le condi-
tionnement du système préconditionné. Dans le cas multi-niveau le preconditionneur tente de
conserver cette propriété qui n’est plus prouvée; en revanche nous établissons que les valeurs
propres extrémales sont clusterisées dans un intervalle autour de 1. Finalement, à travers des
expérimentations numériques, nous illustrons l’efficacité du nouveau schéma proposé qui sur-
passe les techniques plus classiques basées sur une SVD régulière pour approximer les blocs
hors-diagonaux ou une SVD filtrée.
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