An algorithmic characterization of P-matricity II: adjustments, refinements, and validation - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Journal Articles SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications Year : 2019

An algorithmic characterization of P-matricity II: adjustments, refinements, and validation

Une caractérisation algorithmique de la P-matricité II: ajustements, raffinements et validation

Ibtihel Ben Gharbia
Jean Charles Gilbert

Abstract

The paper "An algorithmic characterization of P-matricity" (SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 34:3 (2013) 904–916, by the same authors as here) implicitly assumes that the iterates generated by the Newton-min algorithm for solving a linear complementarity problem of dimension n, which reads 0 ⩽ x ⊥ (M x + q) ⩾ 0, are uniquely determined by some index subsets of [[1, n]]. Even if this is satisfied for a subset of vectors q that is dense in R^n, this assumption is improper, in particular in the statements where the vector q is not subject to restrictions. The goal of the present contribution is to show that, despite this blunder, the main result of that paper is preserved. This one claims that a nondegenerate matrix M is a P-matrix if and only if the Newton-min algorithm does not cycle between two distinct points, whatever is q. The proof is not more complex, requiring only some adjustments, which are essential however.
L'article "An algorithmic characterization of P-matricity" (SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 34:3 (2013) 904–916, par les mêmes auteurs qu'ici) suppose implicitement que les itérés générés par l'algorithme de Newton-min pour résoudre le problème de complémentarité linéaire de dimension n, qui s'écrit 0 ⩽ x ⊥ (M x + q) ⩾ 0, sont déterminés de manière unique par des sous-ensembles d'indices de [[1, n]]. Même si cette hypothèse est vérifiée pour un sous-ensemble de vecteurs q qui est dense dans R^n, elle n'est pas appropriée, en particulier dans les énoncés où le vecteur q n'est pas soumis à des restrictions. Le but du la contribution présente est de montrer que, malgré cette bévue, le résultat principal de l'article est préservé. Celui-ci affirme qu'une matrice non dégénérée M est une P-matrice si, et seulement si, l'algorithme de Newton-min ne cycle pas entre deux points distincts, quel que soit q. La démonstration n'est pas plus complexe et ne requiert que quelques ajustements, qui sont cependant essentiels.
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Dates and versions

hal-01672197 , version 1 (23-12-2017)
hal-01672197 , version 2 (01-02-2018)
hal-01672197 , version 3 (29-09-2018)
hal-01672197 , version 4 (11-04-2019)

Identifiers

Cite

Ibtihel Ben Gharbia, Jean Charles Gilbert. An algorithmic characterization of P-matricity II: adjustments, refinements, and validation. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2019, 40 (2), pp.800-813. ⟨10.1137/18M1168522⟩. ⟨hal-01672197v4⟩
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