Convergence of a cartesian method for elliptic problems with immersed interfaces
Résumé
We study in this paper the convergence of a Cartesian method for elliptic problems with immersed interfaces that was introduced in a previous paper [7]. This method is based on additional unknowns located on the interface, used to express the jump conditions across the interface and to discretize the elliptic operator in each subdomain separately. It is numerically second-order accurate in L∞-norm. This paper is a step toward the convergence proof of this method. Indeed, we prove the convergence of the method in two cases: the original second-order method in one dimension, and a first-order version in two dimensions. The proof of convergence uses discrete Green’s functions and takes advantage of a discrete maximum principle to obtain estimates on the coefficients of the inverse matrix.
Nous étudions dans ce rapport la convergence d’une méthode sur grille cartésienne pour
des problèmes elliptiques avec des interfaces immergées, introduite dans [7]. Cette méthode repose
sur l’utilisation d’inconnues supplémentaires situées sur l’interface, qui servent à discrétiser séparément
l’opérateur elliptique dans chaque sous-domaine et à exprimer avec une précision suffisante les conditions
de saut au travers de l’interface. Il a été montré numériquement dans [7] que cette méthode converge à
l’ordre deux en norme L∞. Cet article est un pas en avant vers la preuve de la convergence de cette
méthode. En effet, nous prouvons la convergence dans deux cas: celui de la méthode originale en une
dimension, et celui d’une version à l’ordre un, mais en deux dimensions. La preuve de convergence fait
appel à des fonctions de Green discrètes et tire profit d’un principe du maximum discret pour obtenir des
estimations des coefficients de la matrice inverse.
Domaines
Analyse numérique [math.NA]Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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