Convergence of a cartesian method for elliptic problems with immersed interfaces - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Reports (Research Report) Year : 2017

Convergence of a cartesian method for elliptic problems with immersed interfaces

Abstract

We study in this report the convergence of a Cartesian method for elliptic problems with immersed interfaces that was presented in a previous paper. This method is based on additional unknowns located on the interface, used to express the jump conditions across the interface and discretize the elliptic operator in each subdomain separately. It is numerically second-order accurate in L¥-norm. This paper is a step toward the convergence proof of this method. We prove the convergence of the method in two cases: the original second-order method in one dimension, and a first-order version in two dimensions. The proof of convergence takes advantage of a discrete maximum principle to obtain estimates on the coefficients of the inverse matrix. More precisely, we obtain estimates for the sums of the coefficients of several blocks of the inverse matrix. Associated to the consistency error, which has different leading orders throughout the domain, these estimates lead to the convergence results.
Nous étudions dans ce rapport la convergence d’une méthode sur grille cartésienne pour des problèmes elliptiques avec des interfaces immergées, introduite dans un article précédent. Cette méthode repose sur l’utilisation d’inconnues supplémentaires situées sur l’interface, qui servent à discrétiser séparément l’opérateur elliptique dans chaque sous-domaine et à exprimer avec une précision suffisante les conditions de saut au travers de l’interface. Il a été montré numériquement que cette méthode converge à l’ordre deux en norme L∞. Cet article est un pas en avant vers la preuve de la convergence de cette méthode. En effet, nous prouvons la convergence dans deux cas: celui de la méthode originale en une dimension, et celui d’une version à l’ordre un, mais en deux dimensions. La preuve de convergence fait appel à des fonctions de Green discrètes et tire profit d’un principe du maximum discret pour obtenir des estimations des coefficients de la matrice inverse.
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hal-01280283 , version 1 (02-03-2016)
hal-01280283 , version 2 (22-09-2017)
hal-01280283 , version 3 (13-07-2018)
hal-01280283 , version 4 (15-10-2018)
hal-01280283 , version 5 (10-06-2019)
hal-01280283 , version 6 (16-07-2019)

Identifiers

  • HAL Id : hal-01280283 , version 6

Cite

Lisl Weynans. Convergence of a cartesian method for elliptic problems with immersed interfaces. [Research Report] RR-8872, INRIA Bordeaux; Univ. Bordeaux. 2017, pp.24. ⟨hal-01280283v6⟩
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