Consistency of statistics in infinite dimensional quotient spaces
Consistance des statistiques dans les espaces quotients de dimension infinie
Résumé
In computational anatomy, organ shapes are assumed to be deformation of a common template. The data can be organ images but also organ surfaces, and the deformations are often assumed to be diffeomorphisms. In order to estimate the template, one often uses the max-max algorithm which minimizes, among all the prospective templates, the sum of the squared distance after registration between the data and a prospective template. Registration is here the step of the algorithm which finds the best deformation between two shapes.
The goal of this thesis is to study this template estimation method from a mathematically point of view. We prove in particular that this algorithm is inconsistent due to the noise. This means that even with an infinite number of data, and with a perfect minimization algorithm, one estimates the original template with an error. In order to prove inconsistency, various hypotheses are required in different results in this thesis. We are committed to explain these hypotheses, and we aim at providing results with the weakest hypotheses possible, in order to approach the frameworks used for applications.
In order to prove inconsistency, we formalize the template estimation into a mathematical framework. Deformations are assumed to be random elements of a group which acts on the space of observations. Besides, the studied algorithm is interpreted as the computation of the Fréchet mean in the space of observations quotiented by the group of deformations. In this thesis, we prove that the inconsistency comes from the contraction of the distance in the quotient space with respect to the distance in the space of observations. As a result, we consider that observations belong to general spaces such as Hilbert spaces and Riemannian manifolds, in these spaces, the inconsistency appears for general noise.
Another goal of this thesis is to quantify this inconsistency. We estimate the error between the original template and the estimated template. This highlights the parameters which govern the inconsistency. We obtained a Taylor expansion of the consistency bias with respect to the noise level. As a consequence, the inconsistency is unavoidable when the noise level is high.
En anatomie computationnel, on suppose que les formes d'organes sont issues de déformation d'un template commun. Les données peuvent être des images ou des surfaces d'organes, les déformations peuvent être des difféomorphismes. Pour estimer le template, on utilise souvent un algorithme, appelé «max-max», qui minimise parmi tous les template candidats, la somme des carrées des distances après recalage entre les données et le template candidat. Le recalage étant une étape dans l'algorithme qui trouve la meilleur déformation pour passer d'une forme à une autre.
Le but de cette thèse est d'étudier cet algorithme max-max d'un point de vue mathématique. En particulier, on prouve que cet algorithme est inconsistant à cause du bruit. Cela veut dire que même avec un nombre infini de données et avec un algorithme de minimisation parfait, on estime le template original avec une erreur. Pour prouver cette inconsistance, différentes hypothèses sont requises dans différent résultats de cette thèse. Nous devons donc expliquer ces hypothèses, et surtout produire des résultats avec les hypothèses les plus faibles possibles, pour s'approcher du cadre utilisé dans les applications.
Pour prouver l'inconsistance, on formalise mathématiquement l'estimation de template. On suppose que les déformations sont des éléments aléatoires d'un groupe qui agit sur l'espace des observations. De plus, l'algorithme étudié est interprété comme le calcul de la moyenne de Fréchet dans l'espace des observations quotienté par le groupe des déformations. Dans cette thèse, on prouve que l'inconsistance est dû à la contraction de la distance quotient par rapport à la distance dans l'espace des observations. Dans cette thèse, les observations appartiennent à des espaces comme les espaces de Hilbert ou les variétés Riemanniennes, l'inconsistance est obtenue pour presque tous les bruits.
Un autre but de cette thèse est de quantifier l'inconsistance. On estime l'erreur entre le template originel et le template estimé. Cela met en évidence les paramètres qui gouvernent l'inconsistance. On obtient un équivalent de biais de consistance en fonction du niveau de bruit. Ainsi, l'inconsistance est inévitable quand le niveau de bruit est suffisamment grand.
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