Convergence Rates for Geometric Inference - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Theses Year : 2017

Convergence Rates for Geometric Inference

Vitesses de convergence en inférence géométrique

Abstract

Some datasets exhibit non-trivial geometric or topological features that can be interesting to infer. This thesis deals with non-asymptotic rates for various geometric quantities associated with submanifolds $M \subset \mathbb{R}^D$. In all the settings, we are given an i.i.d. $n$-sample with common distribution $P$ having support $M$. We study the optimal rates of estimation of the submanifold $M$ for the loss given by the Hausdorff metric, of the reach $\tau_{M}$, of the tangent space $T_{X} M$ and the second fundamental form $II_{X}^M$, for $X \in M$ both deterministic and random. The rates are given in terms of the sample size $n$, the instrinsic dimension of $M$ and of its regularity. In the process, we obtain stability results for existing reconstruction techniques, a denoising procedure and results on the geometry of the reach $\tau_{M}$. An extension of Assouad's lemma is presented, allowing to derive minimax lower bounds in singular frameworks.
Certains jeux de données présentent des caractéristiques géométriques et topologiques non triviales qu'il peut être intéressant d'inférer. Cette thèse traite des vitesses non-asymptotiques d'estimation de différentes quantités géométriques associées à des sous-variétés $M \subset \mathbb{R}^D$. Dans chaque cas, on dispose d'un $n$-échantillon i.i.d. de loi commune $P$ ayant pour support $M$. On étudie le problème d'estimation de la sous-variété $M$ pour la perte donnée par la distance de Hausdorff, du reach $\tau_{M}$, de l'espace tangent $T_{X} M$ et de la seconde forme fondamentale $II_{X}^M$, pour $X \in M$ à la fois déterministe et aléatoire. Les vitesses sont données en fonction la taille $n$ de l'échantillon, de la dimension intrinsèque de $M$ ainsi que de sa régularité. Dans l'analyse, on obtient des résultats de stabilité pour des techniques de reconstruction existantes, une procédure de débruitage ainsi que des résultats sur la géométrie du reach $\tau_{M}$. Une extension du lemme d'Assouad est exposée, permettant l'obtention de bornes inférieures minimax dans des cadres singuliers.
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Dates and versions

tel-01607782 , version 1 (03-10-2017)

Identifiers

  • HAL Id : tel-01607782 , version 1

Cite

Eddie Aamari. Convergence Rates for Geometric Inference. Statistics [math.ST]. Université Paris-Saclay, 2017. English. ⟨NNT : 2017SACLS203⟩. ⟨tel-01607782⟩
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