Direct and inverse solvers for scattering problems from locally perturbed infinite periodic layers
Solveurs directes et inverses pour la diffraction par des couches périodiques infinies localement perturbées
Résumé
We are interested by the analysis of scattering and inverse scattering problems for locally perturbed periodic infinite layers at a fixed frequency. This problem has connexions with non destructive testings of periodic structures. We first analyze the forward scattering problem and establish some conditions under which there exist no guided modes. We then propose a numerical method that solves the direct scattering problem based on Floquet-Bloch transform in the periodicity directions of the background. We discretize the problem uniformly in the Floquet-Bloch variable and use a spectral method in the space variable. The discretization in space exploits a volumetric reformulation of the problem in a cell and a periodization of the kernel in the direction orthogonal to the periodicity. The convergence analysis is done for the case with absorption and numerical validating results are conducted in 2D. For the inverse problem we extend the use of three sampling methods to solve the problem of retrieving the defect from the knowledge of multistatic data associated with incident plane waves. We analyze these methods for the semi-discretized problem in the Floquet-Bloch variable. We then propose a new method capable of retrieving directly the defect without knowing neither the background material properties nor the defect properties. The differential- imaging functional that we propose is based on the analysis of sampling methods for a single Floquet-Bloch mode and the relation with solutions to interior transmission problems. The theoretical investigations are corroborated with numerical experiments on synthetic data. We complement our thesis with two results on the analysis of the scattering problem for periodic materials with negative indices: well posedness of the problem in 2D in the case of a contrast equals -1 and Fredholm properties of the volume potential formulation of the problem using the T-coercivity approach in the case of a contrast different from -1.
Nous sommes intéressés par l’analyse de la diffraction directe et inverse des ondes par des couches infinies périodiques localement perturbées à une fréquence fixe. Nous analysons d’abord le problème direct et établissons certaines conditions pour lesquelles il n’existe pas de modes guidés. Nous proposons ensuite une méthode numérique pour résoudre le problème de diffraction basée sur l’utilisation de la transformée de Floquet-Bloch dans les directions de périodicité. Nous discrétisons le problème de manière uniforme dans la variable de Floquet-Bloch et utilisons une méthode spectrale dans la discrétisation spatiale. La discrétisation en espace exploite une reformulation Lipmann-Schwinger et une périodisation du noyau dans la direction perpendiculaire à la périodicité. L’analyse de la convergence est faite dans le cas avec absorption et la validation numérique est réalisée sur des exemples 2D. Pour le problème inverse, nous étendons trois méthodes d’échantillonnage pour la reconstruction de la géométrie du défaut à partir de la connaissance de données mutistatiques associées à des ondes incidentes planes. Nous analysons ces méthodes pour le problème semi-discrétisé dans la variable Floquet-Bloch. Nous proposons ensuite une nouvelle méthode d’imagerie capable de visualiser directement la géométrie du défaut sans connaitre ni les propriétés physiques du milieu périodique, ni les propriétés physiques du défaut. Cette méthode d’imagerie-différentielle est basée sur l’analyse des méthodes d’échantillonnage pour un seul mode de Floquet-Bloch et la relation avec les solutions de problèmes de transmission intérieurs d’un type nouveau. Nous complémentons notre travail par deux résultats sur l’analyse du problème de diffraction pour des matériaux périodiques ayant des indices négatifs: caractère bien posé du problème en 2D dans le cas d’un contraste égal à -1 et caractère Fredholm de la formulation Lipmann-Schwinger du problème dans le cas d’un contraste différent de -1.