Optimal control problems on well-structured domains and stratified feedback controls
Problèmes de commande optimale sur des domaines structurés et lois de commandes en boucles fermées stratifiées
Résumé
The aim of this dissertation is to study some issues in Control Theory of ordinary differential equations. Optimal control problems with tame state-constraints and feedback controls with stratified discontinuities are of special interest. The techniques employed along the manuscript have been chiefly taken from control theory, nonsmooth analysis, variational analysis, tame geometry, convex analysis and differential inclusions theory.
The first part of the thesis is devoted to provide general results and definitions required for a good understanding of the entire manuscript. In particular, a strong invariance criterion adapted to manifolds is presented. Moreover, a short insight into manifolds and stratifications is done. The notions of relatively wedged sets is introduced and in addition, some of its properties are stated.
The second part is concerned with the characterization of the Value Function of an optimal control problem with state-constraints. Three cases have been taken into account. The first one treats stratifiable state-constraints, that is, sets that can be decomposed into manifolds of different dimensions. The second case is focused on linear systems with convex state-constraints, and the last one considers convex state-constraints as well, but from a penalization point of view. In the latter situation, the dynamics are nonlinear and verify an absorbing property at the boundary.
The third part is about discontinuous feedbacks laws whose singularities form a stratified set on the state-space. This type of controls yields to consider stratified discontinuous ordinary differential equations, which motivates an analysis of existence of solutions and robustness with respect to external perturbation for these equations. The construction of a suboptimal continuous feedback from an optimal one is also addressed in this part.
The fourth part is dedicated to investigate optimal control problems on networks. The main feature of this contribution is that no controllability assumption around the junctions is imposed. The results can also be extended to generalized notions of networks, where the junction is not a single point but a manifold.
Cette thèse porte sur la théorie de la commande optimale. Les problèmes de contrôle optimale sous contraintes d'état bien structurées et les lois de feedback stratifiées sont considérés. Les techniques utilisées dans ce manuscrit concernent principalement la théorie de la commande, l'analyse non lisse, l'analyse variationnelle, la géométrie modérée, l'analyse convexe et les inclusions différentielles.
La première partie de la thèse est consacrée à donner des résultats et définitions généraux mais nécessaires pour mieux comprendre les parties suivantes de la thèse. En particulier, un critère d'invariance forte est présenté. De plus, un bref aperçu sur les variétés lisses et les ensembles stratifiés est exposé. La notion d'ensemble relativement wedged est introduite et de plus, quelques de
ses propriétés sont aussi analysées.
La deuxième partie est concernée à caractériser la Fonction Valeur d'un problème de contrôle optimal sous contraintes d'état. Trois situations ont été considérées. Le premier cas traite les contraintes d'état qui sont également des ensembles stratifiés, c'est-à-dire ceux qui peuvent être décomposé en une collection de variétés de différents dimensions. La deuxième situation se concentre sur les systèmes linéaires sous contraintes d'état convexes. Le dernier cas considère aussi les contraintes d'état qui sont ensembles convexes mais avec une technique de pénalisation. Dans cette dernière situation, les dynamiques sont non linéaires et absorbants sur la frontière de l'ensemble de contraintes.
La troisième partie se focalise sur les lois de feedback discontinues dont les ensembles de points singuliers ont une structure stratifiée par rapport à l'espace d'état. Ces contrôles produisent des équations différentielles ordinaires stratifiées, ce qui motive une étude sur l'existence des solutions et sur la robustesse par rapport aux perturbations externes de ses équations. La construction de lois de feedback continues mais sous-optimaux à partir de l'information fourni par les contrôles optimaux est aussi traitée dans cette partie.
La quatrième partie est dédiée à l'étude des problèmes de contrôle optimale sur des réseaux. La principale contribution de cette étude est qu'il n'y a pas de hypothèse de contrôlabilité autour des jonctions. Les résultats sont étendus aux réseaux généralisés dont les jonctions ne sont plus de points isolés mais de variétés.
