A well-posed shooting algorithm for optimal control problems with singular arcs
Résumé
In this article we establish for the first time the well-posedness of the shooting algorithm applied to optimal control problems for which all control variables enter linearly in the Hamiltonian. We start investigating the case having only initial-final state constraints and free control variable, and afterwards we deal with control bounds. The shooting algorithm is well-posed if the derivative of its associated shooting function is injective at the optimal solution. The main result of this paper is to provide a sufficient condition for this injectivity, that is very close to the second order necessary condition. We prove that this sufficient condition guarantees the stability of the optimal solution under small perturbations and the well-posedness of the shooting algorithm for the perturbed problem. We present numerical tests that validate our method.
Dans ce travail on pré́sente pour la première fois une condition suffisante pour que l'algorithme de tir soit bien posé́ quand il est appliqué́ aux problèmes de commande optimale affines dans les commandes. On commence par é́tudier le cas avec des contraintes initiales-finales sur l'é́tat et commande libre, et ensuite on ajoute des contraintes sur la commande. L'algorithme de tir est bien posé si la dé́rivé́e de la fonction de tir associé́e est injective dans la solution optimale. Le ré́sultat principal de cet article montre une condition suffisante pour cette injectivité́, qui est très proche de la condition né́cessaire du second ordre. On montre que cette condition suffisante assure la stabilité de la solution optimale aux petites perturbations et qu'elle garantit aussi que l'algorithme de tir est bien posé́ pour le problème perturbé́. On pré́sente des essais numé́riques qui valident notre mé́thode.
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