The backward stable variants of GMRES in variable accuracy
Les variantes rétro-stables de GMRES en précision variable
Résumé
In the context where the representation of the data is decoupled from the
arithmetic used to process them, we investigate the backward stability of two
backward-stable implementations of the GMRES method, namely the so-called
Modified Gram-Schmidt (MGS) and the Householder variants. Considering data may
be compressed to alleviate the memory footprint, we are interested in the
situation where the leading part of the rounding error is related to the data
representation. When the data representation of vectors introduces componentwise
perturbations, we show that the existing backward stability analyses of
MGS-GMRES and Householder-GMRES still
apply. We illustrate this backward stability property in a practical context
where an agnostic lossy compressor is employed and enables the reduction of the
memory requirement to store the orthonormal Arnoldi basis or the Householder
reflectors. Although technical arguments of the theoretical backward stability
proofs do not readily apply to the situation where only the normwise relative
perturbations of the vector storage can be controlled, we show experimentally
that the backward stability is maintained; that is, the attainable normwise
backward error is of the same order as the normwise perturbations induced by the
data storage. We illustrate it with numerical experiments in two practical
different contexts. The first one corresponds to the use of an agnostic
compressor where vector compression is controlled normwise. The second one arises in
the solution of tensor linear systems, where low-rank tensor approximations
based on Tensor-Train is considered to tackle the curse of
dimensionality.
Dans le contexte où la représentation des données est découplée de
l'arithmétique utilisée pour les traiter, nous étudions la stabilité inverse des deux
implémentations stables de la méthode GMRES, à savoir la variante dite Modified Gram-Schmidt (MGS) et la variante Householder.
Considérant que les données peuvent être compressées pour réduire l'empreinte mémoire, nous nous intéressons à
la situation où la partie principale de l'erreur d'arrondi est liée à la représentation des données.
Lorsque la représentation des données des vecteurs introduit
des perturbations par composantes, les analyses de stabilité inverse existantes de
MGS-GMRES et Householder-GMRES restent applicables.
s'appliquent toujours. Nous illustrons cette propriété de stabilité dans un contexte pratique
pratique où un compresseur agnostique à perte est utilisé et permet de réduire la
mémoire nécessaire pour stocker la base orthonormale d'Arnoldi ou les réflecteurs de Householder.
Bien que les arguments techniques des preuves théoriques de
de stabilité inverse ne s'appliquent pas facilement à la situation où seules les perturbations relatives en norme sont utilisées.
Nous montrons expérimentalement que la stabilité inverse est maintenue ; c'est-à-dire que
l'erreur inverse atteignable est du même ordre que les perturbations normalisées induites par le stockage des données.
Nous rapportons des expériences numériques
dans deux contextes pratiques différents. Le premier correspond à l'utilisation d'un
compresseur agnostique.
Le deuxième se présente dans la résolution de systèmes linéaires tensoriels,
définis sur un produit tensoriel d'espaces linéaires,
où les approximations tensorielles à faible rang basées sur
Tensor-Train est envisagée pour lutter contre la malédiction de la
dimensionnalité.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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