The Exponential-Dual Matrix Method: Applications to Markov Chain Analysis
La méthode de la matrice exponentielle-duale. Applications à l'analyse de chaînes de Markov.
Résumé
Classic performance evaluation using queueing theory is usually done assuming a stable model in equilibrium. However, there are situations where we are interested in the transient phase. In this case, the main metrics are built around the model's state distribution at an arbitrary point in time. In dependability, a significant part of the analysis is done in the transient phase. In previous work, we developed an approach to derive distributions of some continuous time Markovian models, built around uniformization (also called Jensen's method), transforming the problem into a discrete time one, and the concept of stochastic duality. This combination of tools provides significant simplifications in many cases. However, stochastic duality does not always exist. Recently, we discovered that an idea of algebraic duality, formally similar to stochastic duality, can be defined and applied to any linear differential system (or equivalently, to any matrix). In this case, there is no limitation, the transformation is always possible. We call it the exponential-dual matrix method. In the article, we describe the limitations of stochastic duality and how the exponential-dual matrix method operates for any system, stochastic or not. These concepts are illustrated throughout our article with specific examples, including the case of infinite matrices.
L'évaluation des performances classique avec la théorie des files d'attente est réalisée en général en considérant un modèle stable en équilibre. Cependant, il y a des situations où nous sommes intéressés dans la phase transitoire. Dans ce cas, les métriques principales sont construites autour des distributions d'état dans un instant arbitraire. Dans des travaux passés, nous avons développé une approche pour obtenir les distributions de quelques processus de Markov en temps continu, construite autour de l'uniformisation (aussi appelée méthode de Jensen), qui transforme le problème dans un autre en temps discret, plus le concept de dualité stochastique. Cette combinaison d'outils permet d'importantes simplifications dans beaucoup de cas. Cependant, la dualité stochastique n'existe pas toujours. Récemment, nous avons découvert une idée de dualité algébrique, formellement similaire à la dualité stochastique, qui peut s'appliquer à n'importe quel système différentiel (ou, de façon équivalente, à n'importe quelle matrice). Dans ce cas, il n'y a pas de limitation, la transformation est toujours possible. Nous l'appelons la méthode de la matrice exponentielle-duale. Dans l'article, nous décrivons les limites de la dualité stochastique et comment la méthode de la matrice exponentielle-duale opère sur n'importe quel système, stochastique ou non. Ces concepts sont illustrés avec des exemples spécifiques, y compris dans le cas de matrices infinies.
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