The mathematical foundations of physical systems modeling languages
Résumé
Modern modeling languages for general physical systems, such as Modelica, Amesim, or Simscape, rely on Differential Algebraic Equations (DAEs), i.e., constraints of the form f(x′,x,u) = 0. This drastically facilitates modeling from first principles of the physics, as well as the reuse of models. In this paper, we develop the mathematical theory needed to establish the development of compilers and tools for DAE-based physical modeling languages on solid mathematical bases. Unlike Ordinary Differential Equations (ODEs, of the form x′ = f(x,u)), DAEs exhibit subtle issues because of the notion of differentiation index and related latent equations-ODEs are DAEs of index zero, for which no latent equation needs to be considered. Prior to generating execution code and calling solvers, the compilation of such languages requires a nontrivial structural analysis step that reduces the differentiation index to a level acceptable by DAE solvers. The models supported by tools of the Modelica class involve multiple modes, with mode-dependent DAE based dynamics and state-dependent mode switching. However, multimode DAEs are much more difficult to handle than DAEs, especially because of the events of mode change. Unfortunately, the large literature devoted to the mathematical analysis of DAEs does not cover the multimode case, typically saying nothing about mode changes. This lack of foundations causes numerous difficulties to the existing modeling tools. Some models are well handled, others are not, with no clear boundary between the two classes. In this paper, we develop a comprehensive mathematical approach supporting compilation and code generation for this class of languages. Its core is the structural analysis of multimode DAE systems. As a byproduct of this structural analysis, we propose sound criteria for accepting or rejecting multimode models. Our mathematical development relies on nonstandard analysis, which allows us to cast hybrid system dynamics to discrete-time dynamics with infinitesimal step size, thus providing a uniform framework for handling both continuous dynamics and mode change events.
Les langages modernes de modélisation de systèmes physiques, tels que Modelica, Amesim, ou Simscape, s'appuient sur des Equations Algébro-Différentielles (DAE), qui sont des contraintes de la forme f(x;x;u) = 0. Cette approche rend naturelle la modélisation directe à partir des principes de la physique, ainsi que la réutilisation de modèles. Dans cet article, nous développons les bases mathématiques qui fondent ces langages. Par rapport aux Equations Différentielles Ordinaires (ODE, de la forme x'=g(x,u)), les DAE sont plus compliquées, en raison des notions d'index et d'équations latentes -- les ODE sont des DAE d'index zéro, sans équations latentes. Avant toute génération de code, une analyse structurelle des modèles est requise, afin de ramener l'index à des valeurs acceptables pour les solveurs de DAE (deux ou trois maximum). Les modèles acceptés par les langages de la classe Modelica sont des DAE multi-modes, avec une DAE différente dans chaque mode, tandis que les changements de mode sont provoqués par des conditions portant sur l'état et/ou le temps. Les DAE multi-mode sont beaucoup plus difficiles à traiter que les DAE (mono-mode). La difficulté principale est le traitement des changements de mode et des conditions de redémarrage associées. Ce point n'est pas abordé dans la littérature mathématique sur les DAE multi-mode: rien n'est dit sur comment les changements de mode doivent être traités. Cette situation est source de problèmes importants pour tous les outils existants.Certains modèles sont correctement traités, d'autres non, sans qu'on sache bien pourquoi -- et les cas problématiques ne sont pas pathologiques, mais se rencontrent naturellement. Dans ce travail, nous développons une approche cohérente et complète pour la compilation des DAE multi-mode. Au coeur de celle-ci se trouve une analyse structurelle multi-mode, qui couvre à la fois les dynamiques dans les divers modes, et les changements de mode. Notre approche traite des modèles présentant des valeurs impulsives pour certaines variables, lors des changements de mode. Notre approche permet d'accepter ou de rejeter des modèles sur des critères bien fondés (modèle sur- ou sous-déterminé). Ces travaux eussent été impossibles sans le recours à l'analyse non-standard. Grâce à elle, nous pouvons réinterpréter les dynamiques en temps continu comme du temps discret à pas infinitésimal, ce qui fournit une vision uniforme de toute la trajectoire -- enmode continu ou en changement de mode.