Multivariate spline bases, oriented matroids and zonotopal tilings
Bases de splines multivariées, matroïdes orientés et pavages de zonotopes
Résumé
In the first part of this work, we uncover a connection between polynomial-reproducing bases of simplex splines and certain single-element liftings of oriented matroids associated to point configurations. We use this correspondence to construct a broad family of spline bases on generic point multisets, generalizing a known result on Delaunay configurations. Our spline bases are naturally defined on finite knot sets with affine dependencies and higher multiplicities, without need for special treatment of degenerate cases. We reformulate our bases in the language of zonotopal tilings, via the Bohne-Dress theorem, obtaining a link to a known construction algorithm for bivariate spline bases based on centroid triangulations. In the second part of this work, we restrict again our attention to weighted Delaunay configurations and the associated spline bases, and we capitalize on our combinatorial viewpoint to extend, in this restricted case, the well-known bivariate construction algorithm to higher dimensions and generic point multisets. Finally, we employ this machinery to propose algorithms for the determination and evaluation of all multivariate basis spline functions supported on a given point.
Dans la première partie de ce travail, on explore une connexion entre les bases de splines simplexes (multivariées) capables de reproduire les polynômes et certains relèvements du matroïde orienté associé à une configuration de points. On se sert de cette corréspondence afin de construire une large famille de bases de splines multivariées sur des multi-ensembles de points quelconques, généralisant ainsi un résultat connu sur les configurations de Delaunay. Les bases ainsi construites sont naturellement définies sur desensembles de noeuds contenant des dépendences affines et des multiplicitées élevées, sans qu'il y ait besoin d'un traitement spécifique des cas dégénerés. On reformule nos bases dans le langage des pavages de zonotopes grâce au théorème de Bohne-Dress. Cette réinterprétation nous permet de tirer un lien vers un algorithme connu de construction de bases de splines bivariées basé sur les triangulations centroïdales. Dans la seconde partie de ce travail, on focalise à nouveau notre attention sur les configurations de Dalaunay pondérées. On exploite notre point de vue combinatoriel afin d'étendre, dans ce cas restreint, l'algorithme connu de génération de bases de splines bivariées à des dimensions supérieures à deux et à des multisets de points quelconques. Enfin, on exploite ces mécanisme afin de dériver un algorithme capable de trouver et évaluer toutes les splines d'une base supportées sur un point donné.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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