Nearly optimal fast preconditioning of symmetric positive definite matrices
Résumé
We consider the hierarchical off-diagonal low-rank preconditioning of symmetric
positive definite matrices arising from second order elliptic boundary value problems.
When the scale of such problems becomes large combined with possibly complex geometry
or unstable of boundary conditions, the representing matrix is large and typically
ill-conditioned. Multilevel methods such as the hierarchical matrix approximation
are often a necessity to obtain an efficient solution.
We propose a novel hierarchical preconditioner that attempts to minimize
the condition number of the preconditioned system. The method is based
on approximating the low-rank off-diagonal blocks in a norm adapted to the hierarchical
structure.
Our analysis shows that the new preconditioner effectively maps both small and large eigenvalues
of the system approximately to $1$.
Finally through numerical experiments, we illustrate the effectiveness of the
new designed scheme which outperforms more classical techniques based on regular SVD
to approximate the off-diagonal blocks and SVD with filtering.
Nous étudions un préconditionnement “data sparse” (HODLR) pour matrices symétriques définies positives provenant de problèmes aux limites elliptiques du second ordre. Pour des problèmes de grandes tailles, des conditions aux limites quasi-singulières ou des
géomètries complexes, les matrices de discrétisation associées sont très mal conditionnées. Le recours à des méthodes multi-niveaux sont souvent une nécessité pour obtenir une solution efficace. Nous proposons un nouveau préconditionneur hiérarchique qui, dans le cas deux niveaux, est mimise le conditionnement du système préconditionné. Dans le cas multi-niveau le preconditionneur tente de conserver cette propriété qui n’est plus prouvée; en revanche nous établisson que les valeurs propres extrémales sont clusterisées dans un intervalle autour de 1. Finalement, travers des expérimentations numériques, nous illustrons l’efficacité du nouveau schéma propos qui surpasse les techniques plus classiques basées sur une SVD régulière pour approximer les
blocs hors-diagonaux ou une SVD filtrée.
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