Walking in a Planar Poisson-Delaunay Triangulation: Shortcuts in the Voronoi Path
Chemins dans la triangulation planaire de Poisson-Delaunay:\\ Raccourcis dans la marche de Voronoi
Résumé
Let $X_n$ be a planar
Poisson point process of intensity $n$.
We give a new proof that the expected length of the Voronoi path between $(0,0)$ and $(1,0)$ in
the Delaunay triangulation associated with $X_n$
is $\tfrac{4}{\pi}\simeq 1.27$ when $n$ goes to infinity;
and we also prove that the variance of this length is $O(1/\sqrt{n})$.
We investigate the length of possible shortcuts in this path,
and defined a shortened Voronoi path whose expected length
can be expressed as an integral that is numerically evaluated to
$\simeq 1.16$.
The shortened Voronoi path has the property to be {\em locally defined};
and is shorter than the previously known locally defined path in
Delaunay triangulation such as
the upper path whose expected length is $35/3\pi^2\simeq 1.18$.
Soit $X_n$ un processus ponctuel de Poisson planaire d'intensité $n$.
Nous donnons une nouvelle démonstration que l'espérance de la longueur
du chemin de Voronoï entre $(0,0)$ et $(1,0)$ dans la triangulation
de Delaunay associée à $X_n$
est $\tfrac{4}{\pi}\simeq 1.27$ quand $n$ tends vers l'infini;
nous démontrons aussi que la variance de cette longueur est $O(1/\sqrt{n})$.
Nous étudions la longueurs gagnées par certains raccourcis dans le
chemin de Voronoi et arrivons à exprimer cette longueur comme une
intégrale
dont l'évaluation numérique est
$\simeq 1.16$.
Le chemin de Voronoi raccourci a la propriété d'être {\em défini localement};
et il est plus court que les autres chemins défini localement déjà
étudié tel que le {\em chemin supérieur} dont la longueur moyenne est
$35/3\pi^2\simeq 1.18$.
Domaines
Géométrie algorithmique [cs.CG]
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