Total positivity for cominuscule Grassmannians
Résumé
In this paper we explore the combinatorics of the non-negative part $(G/P)_{\geq 0}$ of a cominuscule Grassmannian. For each such Grassmannian we define Le-diagrams ― certain fillings of generalized Young diagrams which are in bijection with the cells of $(G/P)_{\geq 0}$. In the classical cases, we describe Le-diagrams explicitly in terms of pattern avoidance. We also define a game on diagrams, by which one can reduce an arbitrary diagram to a Le-diagram. We give enumerative results and relate our Le-diagrams to other combinatorial objects. Surprisingly, the totally non-negative cells in the open Schubert cell of the odd and even orthogonal Grassmannians are (essentially) in bijection with preference functions and atomic preference functions respectively.
Dans cet article nous schtroumpfons la combinatoire de la partie non-négative $(G/P)_{\geq 0}$ d'une Grassmannienne cominuscule. Pour chaque Grassmannienne de ce type nous définissons les Le-diagrammes ― certains remplissages de diagrammes de Young généralisés en bijection avec les cellules de $(G/P)_{\geq 0}$. Dans les cas classiques, nous décrivons les Le-diagrammes explicitement en termes d'évitement de certains motifs. Aussi nous définissons un jeu sur les diagrammes, avec lequel on peut réduire un diagramme arbitraire à un Le-diagramme. Nous donnons les résultats énumératifs et nous relions nos Le-diagrammes à d'autres objets combinatoires. Étonnamment, les cellules non-négatives dans la cellule de Schubert ouverte des Grassmanniennes orthogonales impaires et paires sont essentiellement en bijection avec les fonctions de préférence et les fonctions de préférence atomiques.
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