Connected Surveillance Game - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Reports (Research Report) Year : 2013

Connected Surveillance Game

Abstract

The \emph{surveillance game} [Fomin \textit{et al.}, 2012] models the problem of web-page prefetching as a pursuit evasion game played on a graph. This two-player game is played turn-by-turn. The first player, called the \emph{observer}, can mark a fixed amount of vertices at each turn. The second one controls a \emph{surfer} that stands at vertices of the graph and can slide along edges. The surfer starts at some initially marked vertex of the graph, her objective is to reach an unmarked node before all nodes of the graph are marked. The \emph{surveillance number} $\sn(G)$ of a graph $G$ is the minimum amount of nodes that the observer has to mark at each turn ensuring it wins against any surfer in $G$. Fomin \textit{et al.} also defined the \emph{connected surveillance game} where the observer must ensure that marked nodes always induce a connected subgraph. They ask what is the cost of connectivity, i.e., is there a constant $c>0$ such that the ratio between the \emph{connected surveillance number} $\csn(G)$ and $\sn(G)$ is at most $c$ for any graph $G$. It is straightforward to show that $\csn(G) \leq \Delta \sn(G)$ for any graph $G$ with maximum degree $\Delta$. Moreover, it has been shown that there are graphs $G$ for which $\csn(G)=\sn(G)+1$. In this paper, we investigate the question of the cost of the connectivity. We first provide new non-trivial upper and lower bounds for the cost of connectivity in the surveillance game. More precisely, we present a family of graphs $G$ such that $\csn(G)>\sn(G)+1$. Moreover, we prove that $\csn(G) \leq \sn(G) \sqrt{n}$ for any $n$-node graph $G$. While the gap between these bounds remains huge, it seems difficult to reduce it. We then define the \emph{online surveillance game} where the observer has no \emph{a priori} knowledge of the graph topology and discovers it little-by-little. This variant, which fits better the prefetching motivation, is a restriction of the connected variant. Unfortunately, we show that no algorithm for solving the online surveillance game has competitive ratio better than $\Omega(\Delta)$. That is, while interesting by itself, this variant does not help to obtain better upper bounds for the connected variant.
Le jeu de surveillance [Fomin \emph{et al.}, 2012] modélise le problème de préchargement des documents web comme un jeu de poursuite dans un graphe. Ce jeu se joue tour par tour à deux joueurs. Le premier joueur, appelé l'\emph{observateur}, peut marquer un nombre $k$ prédéfini (et constant) de sommets à chaque tour. Le deuxième joueur commande un \emph{surfeur} qui se déplace sur les sommets du graphe en suivant les arêtes. Le surfeur commence à un sommet prédéfini du graphe, initialement marqué. Son objectif est d'atteindre un noeud non marqué avant que tous les noeuds du graphe soient marqués. L'indice de surveillance $\sn(G)$ d'un graphe $G$ est le nombre $k$ minimum de noeuds que l'observateur doit marquer à chaque tour en s'assurant qu'il gagne quelle que soit la trajectoire du surfeur dans $G$. Fomin \emph{et al.} ont également défini le jeu de surveillance connexe où l'observateur doit s'assurer que l'ensemble des noeuds marqués induit toujours un sous-graphe connexe. Ils demandent quel est le coût de la connectivité, c'est-à-dire, existe-t-il une constante $c >0$ telle que le rapport (ou la différence) entre l'indice de surveillance connexe $\csn(G)$ et $\sn(G)$ est au plus $c$ pour tout graphe $G$. Il est facile de montrer que $\csn(G) \leq \Delta \sn(G)$ pour tout graphe $G$ de degré maximum $\Delta$. En outre, il a été démontré qu'il existe des graphes $G$ pour lesquels $\csn(G) = \sn(G) + 1$. Dans cet article, nous examinons la question du coût de la connectivité. Nous présentons d'abord de nouvelles bornes supérieures et inférieures non triviales pour le coût de la connectivité dans le jeu de surveillance. Plus précisément, nous présentons une famille de graphes $G$ tels que $\csn(G) > \sn(G) + 1$. De plus, nous prouvons que $\csn(G) \leq \sn(G) \sqrt{n}$ pour tout graphe $G$ avec $n$-noeuds. Nous définissons ensuite le \emph{jeu de surveillance en ligne} où l'observateur n'a pas \emph{a priori} connaissance de la topologie du graphe et la découvre peu à peu. Cette variante, qui s'adapte mieux à la motivation du préchargement, est une restriction de la variante connexe. Malheureusement, nous montrons que tout algorithme pour résoudre le jeu de la surveillance en ligne a un rapport compétitif au mieux de $\Omega(\Delta)$. Autrement dit, cette variante, intéressante en soi, ne permet pas d'obtenir de meilleures bornes supérieures pour la variante connexe.
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Dates and versions

hal-00820271 , version 1 (03-05-2013)

Identifiers

  • HAL Id : hal-00820271 , version 1

Cite

Frédéric Giroire, Dorian Mazauric, Nicolas Nisse, Stéphane Pérennes, Ronan Pardo Soares. Connected Surveillance Game. [Research Report] RR-8297, INRIA. 2013, pp.22. ⟨hal-00820271⟩
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