On some generalisations of Optimal Transport problem - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Accéder directement au contenu
Hdr Année : 2024

On some generalisations of Optimal Transport problem

Sur quelques généralisations du problème du transport optimal

Résumé

This manuscript is devoted to the study of some generalisation of Optimal Transport problem as well as some applications arising in Mathematical Finance, Game Theory and Quantum Physics. More specifically, we first consider the Multi-Marginal Optimal Transport (MMOT) problem by a careful refinement of the existing theory for the one dimensional case, we provide an explicit characterisation of spectral risk measures. We also study the entropic regularization of MMOT and in particular derive rate of convergence of the entropic cost to the multi-marginal cost as the regularization parameter vanishes. Moreover, in the framework of entropic transport we provide an ODE characterisation of the discrete problem. Concerning the application of Optimal Transport to Density Functional Theory (DFT) we propose a generalisation of MMOT to the grand canonical ensemble, that is we allow the number of marginals to vary. Furthermore, we also focus on a sparse approximation of the Lieb functional via moments constraints. Finally, we study unequal dimensional Optimal Transport and some related variational problems arising in Game Theory and Economics as, for instance, Cournot-Nash equilibria or the hedonic pricing problem. The last part of the manuscript is then devoted to develop the theory of some metrics involving singular measures
Ce manuscrit est consacré à l'étude de quelques généralisations du problème de transport optimal, ainsi qu'à des applications dans les domaines de la finance mathématique, de la théorie des jeux et de la physique quantique. Plus précisément, nous commençons par étudier le problème du transport optimal multi-marginales (TOM) en affinant la théorie existante pour le cas unidimensionnel. Nous fournissons une caractérisation explicite des mesures de risque spectrales. Nous étudions également la régularisation entropique de MMOT et en particulier, nous dérivons des taux de convergence du coût entropique vers le coût multi-marginal lorsque le paramètre de régularisation tend vers zéro. De plus, dans le cadre du transport entropique, nous proposons une caractérisation du problème discret en utilisant une équation différentielle. En ce qui concerne l'application du transport optimal à la théorie de la fonctionnelle de densité (TFD), nous proposons une généralisation du TOMM à l'ensemble canonique grand, c'est-à- dire que nous autorisons le nombre de marginales à varier. De plus, nous nous concentrons également sur une approximation parcimonieuse de la fonctionnelle de Lieb via des contraintes de moments. Enfin, nous étudions le problème du transport optimal entre dimensions différentes et certains problèmes variationnels issus de la théorie des jeux et de l'économie, tels que les équilibres de Cournot-Nash ou le problème de hedonic pricing. La dernière partie du manuscrit est consacrée au développement de la théorie de certaines métriques impliquant des mesures singulières.
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Dates et versions

tel-04554531 , version 1 (22-04-2024)

Licence

Paternité

Identifiants

  • HAL Id : tel-04554531 , version 1

Citer

Luca Nenna. On some generalisations of Optimal Transport problem. Optimization and Control [math.OC]. Paris Saclay University, 2024. ⟨tel-04554531⟩
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