Unimodularity in Random Networks: Applications to the Null recurrent Doeblin Graph and Hierarchical Clustering - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Theses Year : 2023

Unimodularity in Random Networks: Applications to the Null recurrent Doeblin Graph and Hierarchical Clustering

Unimodularité dans les Réseaux Aléatoires : Applications au Graphe de Doeblin Récurrent Nul et au Regroupement Hiérarchique.

Abstract

This thesis is based on the notion of unimodularity in the context of random networks and explores two domains of application: Coupling from the Past for Markov Chains in the null recurrent case based on the associated Doeblin Graphs, and unsupervised classification based on hierarchical clustering on point processes. The first part of this thesis focuses on the properties of a specific random graph called the Doeblin Graph, which is associated with the Coupling from the Past algorithm used for the perfect sampling of the stationary distribution of a Markov Chain. This thesis studies the null recurrent case, where it is shown that the Bridge Doeblin Graph, a subgraph of the Doeblin Graph, is either an infinite tree or a forest composed of a countable collection of infinite trees. In the former case, the infinite tree possesses a single end, is not generally unimodularizable, but exhibits local unimodularity. These properties are leveraged to in- vestigate the stationary regime of measure-valued random dynamics on the Bridge Doeblin Tree, particularly the taboo and potential random dynamics. The second part of this thesis introduces a novel hierarchical clustering model tailored for unsupervised classifications of datasets that are countably infinite. The proposed algorithm employs multiple levels of clustering, constructing clusters at each level using nearest- neighbor chains of points or clusters. This algorithm is applied to the Poisson point process. It is proven that the clustering algorithm defines a phylogenetic forest on the Poisson point process, which is a factor of the point process and is therefore unimodular. Various proper- ties of this random forest, such as the mean sizes of clusters at each level or the mean size of the cluster of a typical node, are examined.
Cette thèse repose sur la notion d’unimodularité dans le contexte des réseaux aléatoires et explore deux domaines d’application : le couplage par le passé des chaînes de Markov dans le cas de la récurrence nulle, basé sur les graphes de Doeblin associés, et la classification non supervisée basée sur le regroupement hiérarchique des points d’un processus ponctuel. La première partie de cette thèse se concentre sur les propriétés d’un graphe aléatoire spé- cifique appelé le graphe de Doeblin, qui est associé à l’algorithme du couplage par le passé utilisé pour l’échantillonnage parfait de la distribution stationnaire d’une chaîne de Markov. Cette thèse étudie le cas récurrent nul, où il est montré que le graphe des ponts, un sous- graphe du Doeblin Graph, est soit un arbre infini, soit une forêt composée d’une collection dénombrable d’arbres infinis. Dans le premier cas, l’arbre infini possède une unique ex- trémité, n’est généralement pas unimodularisable, mais présente une unimodularité locale. Ces propriétés sont exploitées pour étudier le régime stationnaire des dynamiques aléa- toires de processus à valeurs mesures sur l’arbre des ponts de Doeblin, en particulier les dynamiques aléatoires tabou et potentielle. La deuxième partie de cette thèse présente un nouveau modèle de regroupement hiérar- chique adapté à la classification non supervisée d’ensembles de données qui sont dénom- brablement infinis. L’algorithme proposé utilise plusieurs niveaux de regroupement, con- struisant des clusters à chaque niveau en utilisant des chaînes de voisins les plus proches de points ou de clusters. Cet algorithme est appliqué au processus ponctuel de Poisson pour lequel il est démontré que l’algorithme de regroupement définit une forêt phylogénétique, qui est un facteur du processus ponctuel et est donc unimodulaire. Diverses propriétés de cette forêt aléatoire, telles que les tailles moyennes des clusters à chaque niveau ou la taille moyenne du cluster d’un nœud typique, sont examinées.
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Sayeh Khaniha. Unimodularity in Random Networks: Applications to the Null recurrent Doeblin Graph and Hierarchical Clustering. Mathematics [math]. Ecole normale superieure, 2023. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04431608⟩
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