Applications de l’analyse harmonique réelle à l'étude des équations de Navier-Stokes et de Schrödinger non linéaire - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Accéder directement au contenu
Thèse Année : 1999

Applications of real harmonic analysis to the study of Navier-Stokes and nonlinear Schrödinger equations

Applications de l’analyse harmonique réelle à l'étude des équations de Navier-Stokes et de Schrödinger non linéaire

Résumé

In the first part of this thesis we deal with the problems of existence, uniqueness and regularity of weak solutions of the three dimensional, incompressible Navier-Stokes system in the whole space; in the second part, we study the existence of selfsimilar solutions of a class of nonlinear Schrödinger equations. The most important results in chapter 1 are an equivalence theorem for the differential and integral for­ mulations of the Navier-Stokes system in quite a large functional context and a uniqueness result for the con­ tinuous in time solutions (the so-called mild solutions) valued in the Lebesgue, Sobolev, Besov and Morrey- Campanato critical spaces. We prove in particular the uniqueness of mild solutions in C([0,T], L^3(R^3)). In chapter 2, we deal with the problem of the existence of mild solutions under T. Kato’s regularity assumption which ensures that such a solution is a classical one at every positif time. We prove a result of persistence of the regularity of the Koch and Tataru solutions in the space of derivatives of the BMO space if the datum verifies some of differentiability properties. The existence time of such solutions only depends on the very weak Koch and T ataru norm of the datum; this norm is strictly linked with oscillation properties of functions. In chapter 3 we still consider the persistence of an extra property of the datum, namely the localisation and oscillation of its Laplacian. The unique solution in the critical Lebesgue space keeps verifying this at least at the beginning of its evolution. In chapter 4, we study a class of nonlinear Schrödinger equations, with polynomial nonlinearity of order between 1 and 2. Through an independent analysis of the linear and nonlinear terms, we prove the existence of selfsimilar solutions in some invariant functional spaces built over Sobolev’s spaces. We also study the asymptotical behaviour at infinity for solutions belonging to the same functional frame.
Dans la première partie de la thèse on traite les problères de l'existence, unicité et régularité des solutions faibles du système de Navier-Stokes tridimensionnel incompressible dans l'espace tout entier; dans la deuxième partie on considère l'existence de solutions autosimilaires pour une classe d'équations de Schrödinger non linéaires. Les résultats fondamentaux du premier chapitre sont un théorème d'équivalence des formulations différentielle et intégrale du système de Navier-Stokes dans un cadre fonctionnel assez large et un résultat d'unicité des solutions milds (continues en temps) à valeurs dans les espaces fonctionnels critiques de Lebesgue, de Sobolev, de Besov et de Morrey-Campanato. On démontre notamment l'unicité des solutions milds dans C([0,T], L^3(R^3)). Dans le deuxième chapitre on traite la question de l'existence des solutions milds sous une hypothèse de régularité introduite par T. Kato qui suffit à garantir qu'il s'agit de solutions classiques en tout instant positif. On démontre alors un résultat de persistance de la régularité des solutions de Koch et Tataru dans l'espace des dérivées de BMO issues d'une donnée initiale vérifiant des propriétés supplémentaires de dérivabilité. Le temps d'existence de telles solutions ne dépend que de la norme très faible de Koch et Tataru, qui est un indicateur des propriétés d'oscillation de la fonction considérée. Dans le troisième chapitre, il est encore question de persistance d'une propriété supplémentaire vérifiée par la donnée initiale, notamment de localisation et d'oscillation de son laplacien. La solution, unique dans l'espace de Lebesgue critique, preserve alors cette propriété au moins au début de son évolution. Dans le quatrième chapitre on étudie une classe d'équations de Schrödinger non linéaires, avec non-linéarité polynomiale d'ordre compris entre 1 et 2. À travers une analyse indépendante des termes linéaire et non linéaire, on démontre l'existence de solutions autosimilaires dans des espaces invariants modelés sur les espaces de Sobolev avec une explosion en temps à l'instant initial. On étudie également le comportement asymptotique à l'infini des solutions appartenant à ce cadre fonctionnel.
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Citer

Giulia Furioli. Applications de l’analyse harmonique réelle à l'étude des équations de Navier-Stokes et de Schrödinger non linéaire. Mathématiques [math]. Université Paris-Sud, 1999. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04198934⟩
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