Correspondence between GLn and its inner forms in positive characteristic
Correspondance entre GLn et ses formes intérieures en caractéristique positive
Abstract
Let F be a local non archimedian field of characteristic p > 0, and let D be a central division algebra of finite rank d2 over F . Let r be a positive number and put n = rd. Then we prove that there is a Jacquet-Langlands cor respondence between the set of classes of irreducible essentialy square-integrable representations of GLn(F) and the set of classes of irreducible essentialy square- integrable representations of GLr(D). This correspondence leads to an isomor phism between the Grothendieck group of GLr(D) and a natural factor of the Grothendieck group of GLn(F), and furthermore to an isomorphism between the Hopf algebra associated á la Zelevinski with GLr(D) and a natural factor of the Hopf algebra associated by Zelevinski with GLn(F). We also prove a transfer of integral orbitals between GLn(F) and GLr(D).
Consequences of these facts are the local integrability of characters, the orthogonality relations for square integrable representations and the irreducibility of any representation induced from a square-integrable irreducible one on GLr(D).
If L is now a global field and A is a central division algebra of finite rank d2 over L, if r is a positif integer, then we also prove the finitude of automorphic cuspidal representations of GLr(A) with fixed components for almost every place.
Soit F un corps local non archimédien de caractéristique p > 0, et soit D une algèbre centrale de division de rang fini d2 sur F . Soit r un nombre positif et mettons n = rd. Nous prouvons alors qu'il existe une correspondance de Jacquet-Langlands entre l'ensemble des classes de représentations irréductibles, essentiellement carrées et intégrables de GLn(F) et l'ensemble des classes de représentations irréductibles, essentiellement carrées et intégrables de GLr(D). Cette correspondance conduit à un isomorphisme entre le groupe de Grothendieck de GLr(D) et un facteur naturel du groupe de Grothendieck de GLn(F), et de plus à un isomorphisme entre l'algèbre de Hopf associée à la Zelevinski à GLr(D) et un facteur naturel de l'algèbre de Hopf associée par Zelevinski à GLn(F). Nous prouvons également un transfert d'orbitales intégrales entre GLn(F) et GLr(D).
Les conséquences de ces faits sont l'intégrabilité locale des caractères, les relations d'orthogonalité pour les représentations intégrables au carré et l'irréductibilité de toute représentation induite à partir d'une représentation irréductible intégrable au carré sur GLr(D).
Si L est maintenant un corps global et A une algèbre centrale de division de rang fini d2 sur L, si r est un entier positif, alors nous prouvons aussi la finitude des représentations cuspidales automorphes de GLr(A) avec des composantes fixes pour presque toutes les places.
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