Eigenvalue estimation of light transport using Monte Carlo algorithms
Estimation des valeurs propres du transport de la lumière à l'aide d'algorithmes de Monte Carlo
Résumé
Constructing solutions for the discrete form of rendering equation has been extensively studied, due to the fact that digital computations are restricted to finite representations, i.e. matrices. The disadvantage of such representations is their computational cost for accurate estimations. On the other hand, the behavior of an operator acting on an infinite-dimensional space may not be the same as its matrix form in some states. In this study, we develop methods to estimate dominant eigenvalues of light transport based on the continuous form of light transport. We commence this investigation by formulating light transport as an integral operator defined on an infinite-dimensional Hilbert space. Applying all the tools offered by functional analysis formalism, we are able to discover properties such as continuity, closedness, compactness, and Hilbert-Schmidt characteristic. We also demonstrate the effect of the compactness property of light transport to compromise the accuracy of the finite and infinite representation of light transport. Furthermore, we study the resolvent of light transport and discuss obstacles on the way to building resolvent-based tools for the spectral study of light transport. The resolvent study is highly connected to the Fredholm theory. In this framework, operators are kernel operators. Fredholm derived an infinite series expansion for his famous determinant. We illustrate how it is possible to transform computations (related to Fredholm determinant) for light transport, when light transport is Hilbert-Schmidt, in terms of path tracing techniques. Finally, we design a few methods that leverage path tracing techniques normally used in the production of images, in order to numerically compute approximations of the dominant eigenvalues of the operator.
La construction de méthodes discrètes d’approximation de l’équation de rendu a été largement étudiée. Celles-ci impliquent des calculs numériques utilisant des représentations de dimension finie (des matrices), dont la taille suit le besoin en précision du résultat. La convergence de ces méthodes est intrinsèquement liée à la compacité de l’opérateur de transport lumineux. Dans cette thèse, nous développons des méthodes pour estimer les valeurs propres dominantes de l’opérateur de transport de la lumière, basées sur la forme continue de l’opérateur. Nous formulons le transport de la lumière comme un opérateur intégral défini sur un espace de Hilbert de dimension infinie. Grâce aux outils offerts par l’analyse fonctionnelle, nous analysons tout d’abord des propriétés telles que la continuité, la fermeture, la compacité et la caractéristique de Hilbert-Schmidt de l’opérateur. Nous démontrons également l’impact de la compacité du transport de la lumière sur la précision des approximations finies de l’equation du rendu. De plus, nous étudions le résolvent de l’opérateur de transport et discutons des possibilités qu’il offre pour l’étude spectrale du transport de la lumière. L’étude du résolvent est fortement liée à la théorie de Fredholm, qui propose une extension en série infinie pour son célèbre déterminant. Nous illustrons comment il est possible de transformer les calculs (liés au déterminant de Fredholm) pour le transport de la lumière, lorsque l’opérateur de transport de lumière est Hilbert-Schmidt, sous forme d’intégrales d’ensembles de chemin lumineux. Enfin, nous proposons plusieurs méthodes qui tirent parti des techniques de Path Tracing, normalement utilisées dans la production d’images, afin de calculer numériquement des approximations des valeurs propres dominantes de l’opérateur de transport.