On decoding algorithms for algebraic geometry codes beyond half the minimum distance - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2021

On decoding algorithms for algebraic geometry codes beyond half the minimum distance

Sur des algorithmes de décodage de codes géométriques au delà de la moitié de la distance minimale

Résumé

This thesis deals with algebraic geometric (AG) codes and their decoding. Those codes are composed of vectors constructed by evaluating specific functions at points of an algebraic curve. The underlying algebraic structure of these codes made it possible to design several decoding algorithms. A first one, for codes from plane curves is proposed in 1989 by Justesen, Larsen, Jensen, Havemose and Hoholdt. It is then extended to any curve by Skorobatov and Vladut and called ”basic algorithm” in the literature. A few years later, Pellikaan and independently Koetter, give a formulation without algebraic geometry using simply the language of codes. This new interpretation, takes the name ”Error Correcting Pairs” (ECP) algorithm and represents a breakthrough in coding theory since it applies to every code having a certain structure which is described only in terms of component-wise products of codes. The decoding radius of this algorithm depends on the code to which it is applied. For Reed-Solomon codes, it reaches half the minimum distance, which is the threshold for the solution to be unique. For AG, the algorithm almost always manages to decode a quantity of errors equal to half the designed distance. However, the success of the algorithm is only guaranteed for a quantity of errors less than half the designed distance minus some multiple curve’s genus. Several attempts were then made to erase this genus-proportional penalty. A first decisive result was that of Pellikaan, who proved the existence of an algorithm with a decoding radius equal to half the designed distance. Then in 1993 Ehrhard obtained an effective procedure for constructing such an algorithm. In addition to the algorithms for unique decoding, AG codes have algorithms correcting amount of errors greater than half the designed distance. Beyond this quantity, the uniqueness of the solution may not be guaranteed. We then use a so-called ”list decoding” algorithm which returns the list of any possible solutions. This is the case of Sudan’s algorithm for Reed-Solomon codes. Another approach consists in designing algorithms, which returns a single solution but may fail. This is the case of the ”power decoding”. Sudan’s and power decoding algorithms have first been designed for Reed-Solomon codes, then extended to AG codes. We observe that these extensions do not have the same decoding radii: that of Sudan algorithm is lower than that of the power decoding, the difference being proportional to the genus of the curve. In this thesis we present two main results. First, we propose a new algorithm that we call ”power error locating pairs” which, like the ECP algorithm, can be applied to any code with a certain structure described in terms of component-wise products. Compared to the ECP algorithm, this algorithm can correct errors beyond half the designed distance of the code. Applied to Reed-Solomon or to AG codes, it is equivalent to the power decoding algorithm. But it can also be applied to specific cyclic codes for which it can be used to decode beyond half the Roos bound. Moreover, this algorithm applied to AG codes disregards the underlying geometric structure which opens up interesting applications in cryptanalysis. The second result aims to erase the penalty proportional to the genus in the decoding radius of Sudan’s algorithm for AG codes. First, by following Pellikaan’s method, we prove that such an algorithm exists. Then, by combining and generalizing the works of Ehrhard and Sudan, we give an effective procedure to build this algorithm.
Cette thèse porte sur les codes géométriques et leur décodage. Ces codes sont constitués de vecteurs d’evaluations de fonctions spécifiques en des points d’une courbe algébrique. La structure algébrique sous-jacente de ces codes a permis de concevoir plusieurs algorithmes de décodage. Un premier algorithme pour les codes provenant de courbes planes est proposé en 1989 par Justesen, Larsen, Jensen, Havemose et Hoholdt. Il est en suite étendu à toute courbe par Skorobatov et Vladut et appelé “basic algorithm” dans la literature. Quelques années plus tard, Pellikaan et ndépendamment Koetter en donnent une formulation sans géométrie algébrique utilisant simplement le langage des codes. Cette nouvelle interprétation prend le nom d’algorithme “Error Correcting Pairs” (ECP) et représente une percée en théorie des codes, car l’algorithme s’applique à tout code muni d’une certaine structure qui se décrit uniquement en termes de produits coordonnées par coordonnées de codes. Le rayon de décodage de cet algorithme dépend du code auquel il est appliqué. Pour les codes de Reed-Solomon, il atteint la moitié de la distance minimale, seuil d’unicité de la solution. Pour les codes géométriques, l’algorithme arrive à décoder presque toujours une quantité d’erreurs égale à la moitié de la distance construite. Toutefois, le bon fonctionnement de l’algorithme n’est garanti que pour une quantité d’erreurs inférieure à la moitié de la distance construite moins un multiple du genre de la courbe. Plusieurs tentatives ont ensuite été menées pour effacer cette penalité dûe au genre. Un premier résultat déterminant a été celui de Pellikaan, qui a prouvé l’existence d’un algorithme avec rayon de décodage égal à la moitié de la distance construite. Puis, en 1993 Ehrhard est parvenu à une procédure effective pour construire un tel algorithme. En plus des algorithmes pour le décodage unique,les codes géométriques disposent d’algorithmes corrigeant une quantité d’erreurs supérieure à la moitié de la distance construite. Au delà de cette quantité, l’unicité de la solution pourrait ne pas être assurée. On utilise alors des algorithmes dits de “decodage en liste” qui renvoient la liste des solutions possibles. C’est le cas de l’algorithme de Sudan. Une autre approche consiste à concevoir des algorithmes qui renvoient une unique solution mais peuvent échouer. C’est le cas du “power decoding”. Les algorithmes de Sudan et du power decoding ont d’abord été conçus pour les codes de Reed-Solomon,puis étendus aux codes géométriques. On observe que ces extensions n’ont pas les mêmes rayons de décodage: celui de l’algorithme de Sudan est inférieur à celui du Power decoding, la différence étant proportionnelle au genre de la courbe. Dans cette thèse nous présentons deux résultats principaux. Premièrement, nous proposons un nouvel algorithme que nous appelons “power error locating pairs” qui, comme l’algorithme ECP, peut être appliqué à tout code muni d’une certaine structure se décrivant en termes de produits coordonnées par coordonnées. Comparé à l’algorithme ECP, cet algorithme peut corriger des erreurs au delà de la moitié de la distance construite du code. Appliqué aux codes de Reed–Solomon ou, plus généralement, aux codes géométriques, il est equivalent à l’algorithme du power decoding. Mais il peut aussi être appliqué à des codes cycliques spécifiques pour lesquels il permet de décoder au delà de la moitié de la borne de Roos. Par ailleurs, cet lgorithme appliqué aux codes géométriques fait abstraction de la structure géométrique sous-jascente ce qui ouvre d’intéressantes applications en cryptanalyse. Le second résultat a pour but d’effacer la penalité proportionnelle au genre dans le rayon de décodage de l’algorithme de Sudan pour les codes géométriques. D’abord, en suivant la méthode de Pellikaan, nous prouvons que un tel algorithme existe. Puis, en généralisant les travaux de Ehrhard et Sudan, nous donnons une procédure effective pour construire cet algorithme.
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

Dates et versions

tel-03512261 , version 1 (05-01-2022)
tel-03512261 , version 2 (19-01-2022)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03512261 , version 1

Citer

Isabella Panaccione. On decoding algorithms for algebraic geometry codes beyond half the minimum distance. Algebraic Geometry [math.AG]. École polytechnique, 2021. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03512261v1⟩
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