Automated Deduction and Proof Certification for the B Method
Déduction Automatique et Certification de Preuve pour la Méthode B
Abstract
The B Method is a formal method heavily used in the railway
industry to specify and develop safety-critical software.
It allows the development of correct-by-construction
programs, thanks to a refinement process from an abstract
specification to a deterministic implementation of the program.
The soundness of the refinement steps depends on the
validity of logical formulas called proof obligations,
expressed in a specific typed set theory.
Typical industrial projects using the B Method generate
thousands of proof obligations, thereby relying on automated
tools to discharge as many as possible proof obligations. A
specific tool, called Atelier B, designed to implement the
B Method and provided with a theorem prover, helps users
verify the validity of proof obligations, automatically or
interactively.
Improving the automated verification of proof obligations is
a crucial task for the speed and ease of development.
The solution developed in our work is to use Zenon, a first-order
logic automated theorem prover based on the tableaux method.
The particular feature of Zenon is to generate proof
certificates, i.e. proof objects that can be verified by external
tools. The B Method is based on first-order logic and a specific
typed set theory. To improve automated theorem proving
in this theory, we extend the proof-search algorithm
of Zenon to polymorphism and deduction modulo theory, leading to
a new tool called Zenon Modulo which is the main contribution
of our work.
The extension to polymorphism allows us to deal with problems
combining several sorts, like booleans and integers, and generic
axioms, like B set theory axioms, without relying on
encodings. Deduction modulo theory is an extension of first-order
logic with rewriting both on terms and propositions. It is well
suited for proof search in axiomatic theories, as it turns
axioms into rewrite rules. This way, we turn proof search among
axioms into computations, avoiding unnecessary combinatorial
explosion, and reducing the size of proofs by recording only
their meaningful steps. To certify Zenon Modulo proofs, we
choose to rely on Dedukti, a proof-checker used as a universal
backend to verify proofs coming from different theorem provers,
and based on deduction modulo theory.
This work is part of a larger project called BWare, which gathers
academic entities and industrial companies around automated theorem
proving for the B Method. These industrial partners
provide to BWare a large benchmark of proof obligations coming
from real industrial projects using the B Method and allowing us to
test our tool Zenon Modulo. The experimental results obtained on this
benchmark are particularly conclusive since Zenon Modulo proves
more proof obligations than state-of-the-art first-order provers. In
addition, all the proof certificates produced by Zenon Modulo on
this benchmark are well checked by Dedukti, increasing our confidence
in the soundness of our work.
La Méthode B est une méthode formelle de spécification et
de développement de logiciels critiques largement utilisée dans
l'industrie ferroviaire. Elle permet le développement de programmes dit
corrects par construction, grâce à une procédure de raffinements
successifs d'une spécification abstraite jusqu'à
une implantation déterministe du programme.
La correction des étapes de raffinement est garantie
par la vérification de la correction de formules mathématiques
appelées obligations de preuve et exprimées dans la théorie des
ensembles de la Méthode B.
Les projets industriels utilisant la Méthode B génèrent
généralement des milliers d'obligation de preuve. La
faisabilité et la rapidité du développement dépendent
donc fortement d'outils automatiques pour prouver ces formules
mathématiques. Un outil logiciel, appelé Atelier B, spécialement
développé pour aider au développement de projet avec la Méthode B,
aide les utilisateur a se décharger des obligations de preuve,
automatiquement ou interactivement.
Améliorer la vérification automatique des obligations de preuve
est donc une tâche importante. La solution que nous proposons est
d'utiliser Zenon, un outils de déduction automatique pour la logique du
premier ordre et qui met en oeuvre la méthode des tableaux.
La particularité de Zenon est de générer des certificats de preuve,
des preuves écrites dans un certain format et qui peuvent être vérifiées
automatiquement par un outil tiers.
La théorie des ensembles de la Méthode B est une théorie des ensembles
en logique du premier ordre qui fait appel à des schémas d'axiomes
polymorphes. Pour améliorer la preuve automatique avec celle-ci,
nous avons étendu l'algorithme de recherche de preuve de Zenon
au polymorphisme et à la déduction modulo théorie. Ce nouvel
outil, qui constitue le coeur de notre contribution, est appelé
Zenon Modulo.
L'extension de Zenon au polymorphisme nous a permis de traiter,
efficacement et sans encodage, les problèmes utilisant en même
temps plusieurs types, par exemple les booléens et les
entiers, et des axiomes génériques, tels ceux de la théorie
des ensembles de B. La déduction modulo théorie est une extension
de la logique du premier ordre à la réécriture des termes et des
propositions. Cette méthode est parfaitement adaptée à la recherche
de preuve dans les théories axiomatiques puisqu'elle permet de
transformer des axiomes en règles de réécriture. Par ce moyen,
nous passons d'une recherche de preuve dans des axiomes à du calcul,
réduisant ainsi l'explosion combinatoire de la recherche de preuve
en présence d'axiomes et compressant la taille des preuves en ne
gardant que les étapes intéressantes. La certification des preuves
de Zenon Modulo, une autre originalité de nos travaux, est
faite à l'aide de Dedukti, un vérificateur universel de preuve
qui permet de certifier les preuves provenant de nombreux
outils différents, et basé sur la déduction modulo théorie.
Ce travail fait partie d'un projet plus large appelé BWare, qui
réunit des organismes de recherche académique et des industriels
autour de la démonstration automatique d'obligations de preuve dans
l'Atelier B. Les partenaires industriels ont fourni à BWare un
ensemble d'obligation
de preuve venant de vrais projets industriels utilisant la Méthode B,
nous permettant ainsi de tester notre outil Zenon Modulo.
Les résultats expérimentaux obtenus sur cet ensemble de référence
sont particulièrement convaincants puisque Zenon Modulo prouve
plus d'obligation de preuve que les outils de déduction automatique
de référence au premier ordre. De plus, tous les certificats de
preuve produits par Zenon Modulo ont été validés par Dedukti,
nous permettant ainsi d'être très confiant dans la correction
de notre travail.
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