Identification of fractures in porous medium
Identification de fractures dans un milieu poreux
Résumé
This PhD is dedicated to the mathematical study of an inverse problem in hydro-
geology : the goal is to identify fractures in porous medium, knowing measurements
of the underground flow. The number, the location and the physical parameters of the
fracture are looked for.
This problem is formulated as the least squares minimization of a function evalua-
ting the misfit between measurements and the result of the direct model. We used a
model describing the flow of a monophasic incompressible fluid (Darcy’s law), in a po-
rous medium containing some fractures represented by interfaces. The direct problem
is the fracture model discretized by the mixed hybrid finite element method.
To solve this inverse problem, we developed an iterative algorithm, which is based
on the use of fracture indicators that have been developed durig the thesis. These indicators
give a first order information concerning the effect of the addition of a new
fracture. As these indicators are inexpensive, a large number of configurations of new
fractures is tested at each iteration. The algorithm was programmed, validated and
tested numerically in various situations, using synthetic measurements. It gives very
satisfactory results, although this problem is considered difficult.
Finally, an early study of identifiability of the inverse problem of fractures in porous medium
has been achieved. It allowed to prove the identifiability for a simplified
model (very permeable faults, which is common in the underground). The question of
identifiability for the full fracture model remains open.
Cette thèse est consacrée à l’étude mathématique d’un problème inverse en hydrogéologie :
le but est d’identifier des fractures en milieu poreux, connaissant des mesures
de l’écoulement dans le sous-sol. Le nombre, la localisation et les paramètres physiques
des fractures sont recherchés.
Ce problème est formulé comme la minimisation au sens des moindres carrés d’une
fonctionnelle évaluant l’écart entre les mesures et les résultats du modèle direct.
L’écoulement est celui d’un fluide monophasique incompressible (loi de Darcy). Un modèle
traitant les fractures comme des interfaces est utilisé. Le problème direct est le modèle
de fracture discrétisé par la méthode des éléments finis mixtes hybrides.
Pour résoudre ce problème inverse, un nouvel algorithme itératif a été développé,
basé sur l’utilisation d’indicateurs de fractures mis au point pendant la thèse. Ces indi-
cateurs donnent une information au premier ordre concernant l’effet de l’ajout d’une
nouvelle fracture. Comme ces indicateurs sont peu coûteux, un grand nombre de confi-
gurations de fractures sont testées à chaque itération. L’algorithme a été programmé,
validé puis testé dans des situations variées, en utilisant des mesures synthétiques. Il
donne des résultats très satisfaisants, bien que ce problème soit réputé difficile.
Enfin, l’étude de l’identifiabilité du problème inverse a été amorcée. Pour un modèle
simplifié de fractures (failles très perméables, cas le plus courant dans le sous-sol), on
a montré que le problème est identifiable. La question reste ouverte pour le modèle
complet.
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