Dans toutes sortes de milieux industriels comme l'aéronautique, l'industrie spatiale, l'industrie pétrolière et tant d'autres, il est indispensable d'effectuer des calculs numériques pour simuler des phénomènes intervenant dans des systèmes naturels ou artificiels modélisables par la mécanique des milieux continus. Nous nous sommes intéressés à la question scientifique suivante: Comment, pour une simulation donnée et des moyens de calcul donnés, obtenir la plus grande précision de prédiction ? Le but de cette thèse est de faire le lien entre deux techniques de simulation numérique : les méthodes multigrilles et les nouvelles méthodes adaptatives anisotropes récemment développées. On résout une équation aux dérivées partielles elliptique. L'adaptation des maillages au problème donné repose sur une minimisation d'une grandeur donnée suivant la méthode d'adaptation employée: l'erreur d'interpolation pour l'adaptation basée-hessiens, une pondération de l'erreur d'approximation pour la méthode goal-oriented et la norme de l'erreur d'approximation pour la méthode norm-oriented. La méthode multigrille permet d'accelérer la convergence sur chaque maillage. Plusieurs cas tests ont été effectués pour s'assurer de l'efficacité des différentes méthodes.