Characterization of local quadratic growth for strong minima in the optimal control of semi-linear elliptic equations
Résumé
In this article we consider an optimal control problem of a semi-linear elliptic equation, with bound constraints on the control. Our aim is to characterize local quadratic growth for the cost function $J$ in the sense of strong solutions. This means that the function $J$ growths quadratically over all feasible controls whose associated state is close enough to the nominal one, in the uniform topology. The study of strong solutions, classical in the Calculus of Variations, seems to be new in the context of PDE optimization. Our analysis, based on a decomposition result for the variation of the cost, combines Pontryagin's principle and second order conditions. While these two ingredients are known, we use them in such a way that we do not need to assume that the Hessian of Lagrangian of the problem is a Legendre form, or that it is uniformly positive on an extended set of critical directions.
Dans cet article nous considérons un problème de commande optimale d'une équation semi linéaire elliptique, avec contrainte de bornes sur la commande. Notre but est de caractériser la croissance quadratique locale du coût $J$ au sens des solutions fortes. Ceci signifie que le coût croît de manière quadratique sur l'ensemble des commandes dont l'état associé est proche de l'état nominal, dans la topologie uniforme. L'étude des solutions fortes, classique en calcul des variations, semble nouvelle dans le contexte de l'optimisation des EDP. Notre analyse, basée sur un résultat de décomposition pour la variation du coût, combine le principe de Pontryagine avec des conditions du second ordre. Bien que ces ingrédients soient connus, nous les utilisons sans supposer que le hessien du lagrangien est une forme de Legendre, ou est uniformément positif sur un ensemble de directions étendu.
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