A probabilistic algorithm approximating solutions of a singular PDE of porous media type
Résumé
The object of this paper is a one-dimensional generalized porous media equation (PDE) with possibly discontinuous coefficient $\beta$, which is well-posed as an evolution problem in $L^1(\mathbb{R})$. In some recent papers of Blanchard et alia and Barbu et alia, the solution was represented by the solution of a non-linear stochastic differential equation in law if the initial condition is a bounded integrable function. We first extend this result, at least when $\beta$ is continuous and the initial condition is only integrable with some supplementary technical assumption. The main purpose of the article consists in introducing and implementing a stochastic particle algorithm to approach the solution to (PDE) which also fits in the case when $\beta$ is possibly irregular, to predict some long-time behavior of the solution and in comparing with some recent numerical deterministic techniques.
L'object de ce papier est une équation de type milieux poreux généralisée (EDP) de dimension 1 avec un coefficient $\beta$ éventuellement discontinu, qui est bien posée en tant que problème d'évolution dans $L^1(\mathbb{R})$. Dans des travaux récents de Blanchard et alia ainsi que Barbu et alia, la solution a été représentée par la solution en loi d'une équation différentielle stochastique non-linéaire si la la condition initiale est une fonction bornée intégrable. Nous avons tout d'abord étendu ce résultat, au moins lorsque $\beta$ est continu et que la condition initiale est seulement intégrable avec quelques hypothèses techniques supplémentaires. Le but principal de cet article consiste à introduire et implémenter un algorithme particulaire stochastique afin d'approcher la solution de (EDP) dans le cas où $\beta$ peut être irrégulier. Des comparaisons avec une technique numérique déterministe récente sont effectuées. L'algorithme nous permet de prédire le comportement de la solution en temps long.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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