Best Hermitian interpolation in presence of uncertainties
Résumé
In PDE-constrained optimization, iterative algorithms are commonly efficiently accelerated by techniques relying on approximate evaluations of the functional to be minimized by an economical, but lower-fidelity model (“metamodel”). Various types of metamodels exist (interpolation polynomials, neural networks, Kriging models, etc). Such metamodels are con- structed by precalculation of a database of functional values by the costly high-fidelity model. In adjoint-based numerical methods, derivatives of the functional are also available at the same cost, although usually with poorer accuracy. Thus, a question arises : should the derivative information, known to be less accurate, be used to construct the metamodel or ignored ? As a first step to answer this question, we consider the case of the Hermitian interpolation of a function of a single variable, when the function values are known exactly, and the derivatives only approximately, assuming a uniform upper bound on this approximation is known. The classical notion of best approximation is revisited in this context, and a criterion is introduced to define the best set of interpolation points. This set is identified by either analytical or numerical means. If n + 1 is the number of interpolation points, it is advantageous to account for the derivative information when Epsilon ≤ Epsilon_0 , where Epsilon_0 decreases with n, and this is in favor of piecewise, low-degree Hermitian interpolants. In all our numerical tests, we have found that the distribution of Chebyshev points is always close to optimal, and provides bounded approximants with close-to-least sensitivity to the uncertainties.
En optimisation distribuée (sous contrainte d'équation aux dérivées partielles), il est courant d'accélérer les algorithmes itératifs par des techniques s'appuyant sur des évaluations approchées de la fonctionnelle à minimiser par un modèle économique de basse fidélité (“métamodèle”). Différent types de métamodèles sont possibles (polynômes d'interpolation, réseaux de neurones, modèles de krigeage, etc). Ces métamodèles sont construits à partir d'une base de données de valeurs de fonctionnelle précalculées par le modèle coûteux de haute fidélité. Dans le cas de méthodes numériques avec équation adjointe, on dispose également au même coût des valeurs de dérivée de fonctionnelle, même si, en général, ces valeurs sont connues avec une moindre précision. Ce contexte soulève alors la question suivante : l'information sur les dérivées, connue pour être moins précise, doit-elle être prise en compte dans la construction du métamodèle ? Comme première étape pour aborder cette question, on considère le cas d'un métamodèle par interpolation polynômiale, de Lagrange ou hermitienne, lorsque les valeurs interpolées de la fonction sont connues exactement, et celles de la dérivée seulement approximativement, en supposant qu'une borne supérieure uniforme est connue sur cette approximation. Ceci nous permet de revisiter la notion classique de meilleure approximation, et d'introduire un critère nous permettant de définir le choix optimal des points d'interpolation. Ce choix est identifié par voie analytique ou numérique. Si les points d'interpolation sont en nombre n + 1, il est avantageux de prendre en compte l'information sur les dérivées dès lors que Epsilon ≤ Epsilon_0 , où Epsilon_0 décroit avec n, ce qui milite en faveur d'interpolants hermitiens de faible degré par morceaux. Dans tous nos tests numériques, on a constaté que la distribution de points de Tchebyshev est toujours proche de l'optimalité, et fournit des approximants bornés de sensibilté quasi-minimale aux incertitudes.
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