Sur l'équation diophantienne $\frac{ x^n - 1}{x - 1} = y^q$, III - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Reports (Research Report) Year : 1999

Sur l'équation diophantienne $\frac{ x^n - 1}{x - 1} = y^q$, III

Yann Bugeaud
Guillaume Hanrot
  • Function : Author
  • PersonId : 831392
Maurice Mignotte
  • Function : Author
  • PersonId : 856238

Abstract

Nous étudions dans ce travail l'équation du titre, introduite par Ljunggren et Nagell durant la première moitié du siècle. Nous présentons une méthode qui permet d'une part, à n fixé, de donner une borne pour q, et par ailleurs, n et q étant donnés, d'obtenir des bornes pour x et y bien plus précises que celles provenant de la théorie des formes linéaires en logarithmes. Nous montrons également comment utiliser ces bornes même lorsqu'elles sont trop grandes pour permettre une énumération exhaustive des valeurs de x possibles. En utilisant toutes ces techniques, nous sommes à même de résoudre complètement l'équation dans un bon nombre de cas, en particulier quand 5 ou 7 divise n, ou encore quand n a un diviseur premier inférieur ou égal à 23 distinct de q.

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Dates and versions

inria-00072850 , version 1 (24-05-2006)

Identifiers

  • HAL Id : inria-00072850 , version 1

Cite

Yann Bugeaud, Guillaume Hanrot, Maurice Mignotte. Sur l'équation diophantienne $\frac{ x^n - 1}{x - 1} = y^q$, III. [Rapport de recherche] RR-3808, INRIA. 1999, pp.29. ⟨inria-00072850⟩
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