Une nouvelle méthode de relaxation pour les équations de Navier-Stokes compressibles. I : cadre théorique
Abstract
On présente une nouvelle méthode de relaxation pour résoudre les équations de Navier-Stokes compressibles munies de lois de pression et de température générales, celles-ci étant compatibles avec l'existence d'une entropie et les relations de Gibbs. Notre méthode de relaxation s'inspire de la décomposition de l'énergie interne introduite dans pour les équations d'Euler et conserve, en particulier, les mêmes conditions «sous-caractéristiqu- es» pour la loi de pression du gaz fictif intervenant dans la relaxation. Nous introduisons une décomposition du flux de chaleur basée sur une température globale dépendant de l'entropie du gaz réel et de celle du gaz fictif. Grâce à cette décomposition, nous montrons la stabilité du processus de relaxation via la positivité de la production d'entropie. Une analyse asymptotique au premier ordre autour des états d'équilibre conduit également au résultat de stabilité. Nous présentons enfin une implémentation numérique de la méthode de relaxation qui permet d'utiliser de manière relativement immédiate les solveurs Navier-Stokes compressibles dédiés aux gaz thermiquement et calorifiquement parfaits (ou gaz parfaits polytropiques).