Number of solutions to (A^2+B^2=C^2+C) in a binade - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Reports (Research Report) Year : 2003

Number of solutions to (A^2+B^2=C^2+C) in a binade

Nombre de solutions dans une binade de l'équation A^2+B^2=C^2+C

Jean-Michel Muller
Jean-Louis Nicolas
  • Function : Author
Xavier-François Roblot

Abstract

Let us denote by Q(N,[lambda]) the number of solutions of the diophantine equation $(A^2+B^2=C^2+C)$ satisfying N<=A<=B<=C<=[lambda]N-1/2. We prove that, for [lambda] fixed and N-->infinity, there exists a constant [alpha]([lambda]) such that Q(N,[lambda])=[alpha]([lambda])N+O_[lambda](N^7/8logN). When [lambda] =2, Q(2^n-1,2) counts the number of solutions of $(A^2+B^2=C^2+C)$ with the same number, n, of binary digits; these solutions are interesting in the problem of computing the function (a,b)-->[root](a^2+b^2) in radix-2 floating-point arithmetic. By elementary arguments, Q(N,[lambda]) can be expressed in terms of four sums of the type S(u,v;f)=[SIGMA]_(u<=d<=v) ([SIGMA]_(1<=[lambda]<=f(d)) 1) where u and v are real numbers and f: [u,v] -->R is a function. These sums are estimated by a classical, but deep, method of number theory, using Fourier analysis and Kloosterman sums. This method is effective, and, in the case [lambda]=2, a precise upper bound for |Q(N,[lambda])-[alpha]([lambda])N| is given.
Notons Q(N,λ) le nombre de solutions de l’équation diophantienne A2 + B2 = C2 + C satisfaisant N ≤ A ≤ B ≤ C ≤ λN − 1 2. Nous montrons que pour λ fixé et N →∞, il existe une constante α(λ) telle que Q(N,λ)=α(λ)N +OλN7/8 logN. Lorsque λ =2 , Q(2n−1,2) donne le nombre de solutions de A2 +B2 = C2 +C avec le même nombre n,de chiffres binaires; Ces solutions sont utiles pour le calcul de la fonction (a,b) → √a2 + b2 en arithmétique virgule flottante. Des arguments élémentaires nous permettent d’exprimer Q(N,λ) en termes de quatre sommes de la forme S(u,v;f)=∑ u≤d≤v d odd (∑ 1≤A≤f(d) 4A2≡−1 (mod d) 1) où u et v sont des nombres réels et f :[u,v] −→ R est une fonction. Ces sommes sont estimées à l’aide d’une méthode classique mais profonde de théorie des nombres, qui fait appel à l’analyse de Fourier et aux sommes de Kloosterman. Cette méthode est effective, et dans le cas λ =2, une borne supérieure précise pour |Q(N,λ)−α(λ)N| est donnée.
Fichier principal
Vignette du fichier
RR-4945.pdf (314.12 Ko) Télécharger le fichier
RR2003-45.pdf (317.52 Ko) Télécharger le fichier
Loading...

Dates and versions

inria-00071634 , version 1 (23-05-2006)

Identifiers

  • HAL Id : inria-00071634 , version 1

Cite

Jean-Michel Muller, Jean-Louis Nicolas, Xavier-François Roblot. Number of solutions to (A^2+B^2=C^2+C) in a binade. [Research Report] RR-4945, LIP RR-2003-45, INRIA, LIPP. 2003. ⟨inria-00071634⟩
333 View
173 Download

Share

Gmail Facebook X LinkedIn More