Vignéras orbifolds: isospectrality, regulators, and torsion homology
Orbivariétés de Vignéras: isospectralité, régulateurs, et torsion dans l'homologie
Résumé
We develop a new approach to the isospectrality of the orbifolds constructed by Vign\'eras. We give fine sufficient criteria for i-isospectrality in given degree i and for representation equivalence. These allow us to produce very small exotic examples of isospectral orbifolds: hyperbolic 3-orbifolds that are i-isospectral for all i but not representation equivalent, hyperbolic 3-orbifolds that are 0-isospectral but not 1-isospectral, and others. Using the same method, we also give sufficient criteria for rationality of regulator quotients Reg_i(Y_1)^2/Reg_i(Y_2)^2 for Vign\'eras orbifolds Y_1, Y_2, sometimes even when they are not isospectral. Moreover, we establish a link between the primes that enter in these regulator quotients and at which torsion homology of Y_1 and Y_2 can differ, and Galois representations.
Nous développons une nouvelle approche de l'isospectralité des orbivariétés construites par Vignéras. Nous donnons de fins critères suffisants pour la i-isospectralité et l'équivalence en représentations. Ceux-ci nous permettent de produire de très petits exemples exotiques d'orbivariétés isospectrales : des 3-orbivariétés hyperboliques qui sont i-isospectrales pour tout i mais pas équivalentes en représentations, des 3-orbivariétés hyperboliques qui sont 0-isospectrales mais pas 1-isospectrales, et d'autres. En utilisant la même méthode, nous donnons aussi des critères suffisants pour la rationalité des quotients de régulateurs Reg_i(Y_1)^2/Reg_i(Y_2)^2 pour des orbivariétés de Vignéras Y_1, Y_2, parfois alors même qu'elles ne sont pas isospectrales. De plus, nous établissons un lien entre les nombres premiers qui apparaîssent dans ces quotients de régulateurs et auxquels la torsion dans l'homologie de Y_1 et Y_2 peut différer, et les représentations galoisiennes.
