Structure-preserving reduced order model for parametric cross-diffusion systems
Résumé
In this work, we construct a structure-preserving reduced-order model for the resolution of parametric cross-diffusion systems. Cross-diffusion systems model the evolution of the concentrations or volumic fractions of mixtures composed of different species and often read as nonlinear degenerated parabolic partial differential equations whose numerical resolutions are highly expensive from a computational point of view. We are interested here in cross-diffusion systems which exhibit a so-called entropic structure, in the sense that they can be formally written as gradient flows of a certain entropy functional which is actually a Lyapunov functional of the system. In this work, we propose a new reduced-order modelling method, based on a reduced basis paradigm, in order to accelerate the resolution of parameter-dependent cross-diffusion systems, which preserves, at the level of the reduced-order model, the main mathematical properties of the continuous solution, namely mass conservation, non-negativeness, preservation of the volume-filling property and entropy-entropy dissipation relationship. The theoretical advantages of our approach are confirmed by several numerical experiments.
Dans ce travail, nous construisons un modèle réduit préservant la structure lors de la résolution d’un système de diffusion croisée. Les systèmes de diffusion croisée modélisent l’évolution des concentrations ou fractions volumiques locales de différentes espèces chimiques constituant un mélange et s’interprètent souvent comme des systèmes d’équations aux dérivées partielles non linéaires dégénérées dont la résolution numérique est très coûteuse. Nous nous intéressons dans ce travail à des systèmes de diffusion croisée ayant une structure entropique, dans le sens où ils peuvent s’écrire comment le flot de gradient d’une certaine fonctionnelle d’entropie; cette dernière étant une fonction de Lyapunov pour ce système. Dans ce travail, nous proposons une nouvelle méthode de réduction de modèle, basée sur une approche de type base réduite, afin d’accélérer la résolution de systèmes de diffusion croisée dépendant de paramètres. Cette résolution préserve au niveau réduit les principales propriétés mathématiques imposées par la solution au niveau continu à savoir la conservation de la masse, la positivité de la solution, la contrainte de volume, et la dissipation d’entropie. Les essais numériques confirmes les avantages de notre approche.
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