Structure-preserving reduced order model for parametric cross-diffusion systems
Résumé
In this work, we construct a structure-preserving Galerkin reduced-order model for the
resolution of parametric cross-diffusion systems. Cross-diffusion systems are often used to model the
evolution of the concentrations or volumic fractions of mixtures composed of different species, and can
also be used in population dynamics (as for instance in the SKT system). These systems often read
as nonlinear degenerated parabolic partial differential equations, the numerical resolutions of which
are highly expensive from a computational point of view. We are interested here in cross-diffusion
systems which exhibit a so-called entropic structure, in the sense that they can be formally written as
gradient flows of a certain entropy functional which is actually a Lyapunov functional of the system.
In this work, we propose a new reduced-order modelling method, based on a reduced basis paradigm,
for the resolution of parameter-dependent cross-diffusion systems. Our method preserves, at the level
of the reduced-order model, the main mathematical properties of the continuous solution, namely
mass conservation, non-negativeness, preservation of the volume-filling property and entropy–entropy
dissipation relationship. The theoretical advantages of our approach are illustrated by several numerical
experiments.
Dans ce travail, nous construisons un modèle réduit préservant la structure lors de la résolution d’un système de diffusion croisée. Les systèmes de diffusion croisée modélisent l’évolution des concentrations ou fractions volumiques locales de différentes espèces chimiques constituant un mélange et s’interprètent souvent comme des systèmes d’équations aux dérivées partielles non linéaires dégénérées dont la résolution numérique est très coûteuse. Nous nous intéressons dans ce travail à des systèmes de diffusion croisée ayant une structure entropique, dans le sens où ils peuvent s’écrire comment le flot de gradient d’une certaine fonctionnelle d’entropie; cette dernière étant une fonction de Lyapunov pour ce système. Dans ce travail, nous proposons une nouvelle méthode de réduction de modèle, basée sur une approche de type base réduite, afin d’accélérer la résolution de systèmes de diffusion croisée dépendant de paramètres. Cette résolution préserve au niveau réduit les principales propriétés mathématiques imposées par la solution au niveau continu à savoir la conservation de la masse, la positivité de la solution, la contrainte de volume, et la dissipation d’entropie. Les essais numériques confirmes les avantages de notre approche.
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