Lebesgue integration. Detailed proofs to be formalized in Coq
Intégrale de Lebesgue. Preuves détaillées en vue d'une formalisation en Coq
Abstract
To obtain the highest confidence on the correction of numerical simulation programs implementing the finite element method, one has to formalize the mathematical notions and results that allow to establish the soundness of the method. Sobolev spaces are the mathematical framework in which most weak formulations of partial derivative equations are stated, and where solutions are sought. These functional spaces are built on integration and measure theory. Hence, this chapter in functional analysis is a mandatory theoretical cornerstone for the definition of the finite element method. The purpose of this document is to provide the formal proof community with very detailed pen-and-paper proofs of the main results from integration and measure theory.
Pour obtenir la plus grande confiance en la correction de programmes de simulation numérique implémentant la méthode des éléments finis, il faut formaliser les notions et résultats mathématiques qui permettent d'établir la justesse de la méthode. Les espaces de Sobolev sont le cadre mathématique dans lequel la plupart des formulations faibles pour résoudre les équations aux dérivées partielles sont posées, et où les solutions sont recherchées. La construction de ces espaces fonctionnels repose sur le calcul intégral et la théorie de la mesure. Ce chapitre de l'analyse fonctionnelle est donc un fondement théorique nécessaire à la définition de la méthode des éléments finis. L'objectif de ce document est de fournir à la communauté des chercheurs en preuve formelle des preuves papiers très détaillées des principaux résultats du calcul intégral et de la théorie de la mesure.
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