Structural Analysis of Multimode DAE Systems: summary of results
Analyse Structurelle des Systèmes de DAE multimodes: recueil des résultats de base
Résumé
Modern modeling languages for general physical systems, such as Modelica, Amesim, or Simscape, rely on Differential Algebraic Equations (DAEs), i.e., constraints of the form f(\dot{x},x,u)=0. This drastically facilitates modeling from first principles of the physics, as well as model reuse. In recent works [RR-9334], we presented the mathematical theory needed to establish the development of compilers and tools for DAE-based physical modeling languages on solid mathematical grounds.
At the core of this analysis sits the so-called *structural analysis*, whose purpose, at compile time, is to either identify under- and over-specified subsystems (if any), or to rewrite the model in a form amenable of existing DAE solvers, including the handling of mode change events. The notion of “structure” collects, for each mode and mode change event, the variables and equations involved, as well as the *latent equations* (additional equations redundant with the system), needed to prepare the code submitted to the solver. The notion of DAE *index* (the minimal number of times any equation has to be possibly differentiated) is part of this structural analysis.
This report complements [RR-9334] by collecting all the needed background on structural analysis. The body of knowledge on structural analysis is large and scattered, which also motivated us to collect it in a single report.
We first explain the primary meaning of structural analysis of systems of equations, namely the study of their regularity or singularity in some generic sense. We then briefly review the body of graph theory used in this context. We develop some extensions, for which we are not aware of any reference, namely the structural analysis of systems of equations with existential quantifiers.
For the structural analysis of DAE systems, we focus on John Pryce's Sigma-method, that we both summarize and extend to non-square systems. The uses of these tools and methods in [RR9334] are highlighted in this report.
Les langages modernes de modélisation de systèmes physiques, tels que Modelica, Amesim ou Simscape, s’appuient sur des Equations Algébro-Différentielles (DAE, de l’anglais Differential-Algebraic Equations), c’est-à-dire des contraintes de la forme f(\dot{x},x,u)=0. La modélisation à partir des premiers principes de la physique, ainsi que la réutilisation de modèles, sont facilitées par cette approche. Dans des travaux récents [2, 3], nous présentons la théorie mathématique requise pour le développement de compilateurs et d’outils pour les langages de modélisation à base de DAE sur des bases mathématiques solides.
Cette analyse s’appuie sur l’analyse structurelle, dont le but, à la compilation d’un modèle, est soit d’identifier d’éventuels sous-systèmes sous- et sur-déterminés, soit de réécrire le modèle en vue de son traitement par des solveurs de DAE existants, en prenant en compte les évènements de
changements de mode. La notion de ”structure” rassemble, pour chaque mode et chaque changement de mode, les équations et les variables impliquées, ainsi que les équations latentes (des équations supplémentaires redondantes), requises pour construire le code soumis au solveur numérique. La notion d’index d’un système de DAE, lié aux nombres de différentiations successives devant être appliquées à ses équations, est partie intégrante de cette analyse structurelle.
Le présent rapport vient en complément de [2, 3], en rassemblant toutes les connaissances requises en analyse structurelle. Ce travail a également été motivé par le fait que ce vaste corpus de connaissances est éparpillé dans la littérature. Nous expliquons d’abord le sens premier de l’analyse structurelle de systèmes d’équations, à savoir, l’étude de leur régularité ou singularité dans un sens générique. Nous passons ensuite en
revue les éléments de théorie des graphes utilisés dans ce contexte. Nous développons également une extension qui est, à notre connaissance, inédite dans la littérature sur le sujet : l’analyse structurelle de systèmes d’équations contenant des quantificateurs existentiels.
Pour l’analyse structurelle de systèmes de DAE, nous nous focalisons sur la Σ-méthode de J. Pryce, qui est résumée puis étendue à des systèmes non-carrés. Les utilisations de ces outils et méthodes dans [2, 3] sont mises en évidence dans ce rapport.
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