Divergence-Free Measures in the Plane and Inverse Potential Problems in Divergence Form
Résumé
We show that a divergence-free measure on the plane is a continuous sum of unit tangent vector fields on rectifiable Jordan curves. This loop decomposition is more precise than the general decomposition in terms of elementary solenoids given by S.K. Smirnov when applied to the planar case. The proof involves extending the Fleming-Rishel formula to homogeneous BV functions (in any dimension), and establishing for such functions approximate continuity of measure theoretic connected components of suplevel sets as functions of the level. We apply these results to inverse potential problems whose source term is the divergence of some unknown (vector-valued) measure. A prototypical case is that of inverse magnetization problems when magnetizations are modeled by R 3-valued Borel measures. We investigate methods for recovering a magnetization µ by penalizing the measure theoretic total variation norm µ T V. In particular, we show that if a magnetization is supported in a plane, then T V-regularization schemes always have a unique minimizer, even in the presence of noise. It is further shown that T V-norm minimization (among magnetizations generating the same field) uniquely recovers planar magnetizations in the following cases: when the magnetization is carried by a collection of sufficiently separated line segments and a set that is purely 1-unrectifiable, or when a superset of the support is tree-like. We note that such magnetizations can be recovered via T V-regularization schemes in the zero noise limit by taking the regularization parameter to zero. This suggests definitions of sparsity in the present infinite dimensional context, that generate results akin to compressed sensing.
On établit qu'une mesure vectorielle à divergence nulle dans le plan est une intégrale de mesures élémentaires dont chacune est
la tangente unitaire le long d'une courbe de Jordan rectifiable. Cette décomposition est plus précise que celle en solénoïdes élémentaires obtenue par S.K. Smirnov (en toute dimension), dont elle est un cas particulier. Lors de la preuve, on établit une formule de Fleming-Rishel pour l'espace des
fonctions à variation bornée homogène (en toute dimension), et on montre la continuité approchée des composantes connexes en mesure pour les sur-ensembles de niveau de telles fonctions. par rapport au niveau. On applique ces résultats aux problèmes inverses de potentiel harmonique où la source est la divergence d'une mesure. Un cas typique est le problèmes inverse d'aimantation lorsque cette dernière est représentée par une mesure à trois composantes. Nous étudions les méthodes de régularisation qui pénalisent la variation totale de la mesure inconnue. En particulier, nous montrons que si celle-ci a son support dans un plan, alors la fonctionnelle régularisée a un unique argument pour son minimum, y compris dans le cas bruité. On montre aussi que la minimisation de la variation totale, parmi toutes les mesures produisant un champ donné, sélectionne l'unique mesure (s'il y en a une parmi elles) qui satisfait une des conditions suivantes : 1) la mesure est portée par une ensemble purement 1-non-rectifiable et une collection de segments de droites suffisamment séparés, dans le plan, 2) la mesure est portée par un ensemble arborescent. Ainsi, les aimantations avec de tels supports peuvent en principe être reconstruites par minimisation de la fonctionnelle d'attache aux données régularisée par la variation totale, à la limite lorsque le paramètre de régularisation et le bruit tendent vers zéro conjointement selon la règle de Morozov. Ceci suggère des définitions de parcimonie dans ce contexte de dimension infinie, qui engendrent des résultats du même type que l'identification parcimonieuse en dimension finie.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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