Analysis of an observer strategy for initial state reconstruction of wave-like systems in unbounded domains
Résumé
We are interested in reconstructing the initial condition of a wave equation in an unbounded domain configuration from measurements available in time on a subdomain. To solve this problem, we adopt an iterative strategy of reconstruction based on observers and time reversal adjoint formulations. We prove the convergence of our reconstruction algorithm with perfect measurements and its robustness to noise. Moreover, we develop a complete strategy to practically solve this problem on a bounded domain using artificial transparent boundary conditions to account for the exterior domain. Our work then demonstrates that the consistency error introduced by the use of approximate transparent boundary conditions is compensated by the stabilization properties obtained from the use of the available measurements, hence allowing to still be able to reconstruct the unknown initial condition.
Nous nous intéressons au problème de recontruction de la donnée initiale pour uné equation d'ondes posée en domaine non bornéà l'aide de mesures en temps sur un sous domaine. Pour résoudre ce problème, nous utilisons une approche itérative de reconstruction basée sur une formulation type observateurs et retournement temporel. On prouve la convergence de l'algorithme de reconstruction dans le cas de mesures non bruitées et sa stabilité par rapport à des mesures bruitées. De plus, nous développons une méthodologie complète pour résoudre numériquement le problème en domaine borné en utilisant des conditions transparentes (absorbantes) sur les frontières artificielles bornant le domaine. Nous montrons en particulier que l'erreur de consistance introduite par les conditions absorbantes (non exactes) est compensée par les propriétés de stabilisation obtenues grâce aux mesures, ce qui permet d'être toujours en mesure de reconstituer la donnée initiale.
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