A lower bound on the iterative complexity of the Harker and Pang globalization technique of the Newton-min algorithm for solving the linear complementarity problem
Une borne inférieure sur la complexité itérative de la technique de globalisation de Harker et Pang de l'algorithme de Newton-min pour résoudre le problème de complémentarité linéaire
Résumé
The plain Newton-min algorithm can be viewed as an instance of the plain semismooth Newton method on the equational version min(x,Mx+q) = 0 of the linear complementarity problem (LCP) $"0 ≤ x ⊥ (Mx+q) ≥ 0"$. This algorithm converges, whatever is q, when M is an M-matrix, but not when it is a P-matrix. When convergence occurs, it is often very fast (in at most n iterations for an M-matrix, where n is the number of variables, but often much faster in practice). In 1990, Harker and Pang proposed to improve the convergence ability of this algorithm by introducing a stepsize along the Newton-min direction that results in a small jump over the first encountered kink of the min-function, in order to avoid its points of nondifferentiability. This paper shows that, for the Fathi problem (an LCP with a positive definite symmetric matrix M, hence a P-matrix), an algorithmic scheme, including the algorithm of Harker and Pang, may require n iterations to converge, depending on the starting point.
L'algorithme de Newton-min peut être vu comme une instance de la méthode de Newton semi-lisse agissant sur la formulation équationnelle min(x,Mx+q) = 0 du problème de complémentarité linéaire (PCL) $0 ≤ x ⊥ (Mx+q) ≥ 0$. Cet algorithme converge, quel que soit q, lorsque M est une M-matrice, mais pas lorsque M est une P-matrice. En cas de convergence, celle-ci est souvent très rapide (en moins de n itérations pour une M-matrice, où n est le nombre de variables, mais souvent bien plus rapidement en pratique). En 1990, Harker et Pang ont proposé d'améliorer la capacité de converger de cet algorithme en introduisant un pas le long de la direction de Newton-min qui se traduit par une petit saut au-dessus du premier pli de la fonction min rencontré, de manière à éviter ses points de non-différentiabilité. Cet article montre que, pour le problème de Fathi (un PCL avec une matrice M symétrique définie positive, donc une P-matrice), un schéma algorithmique, incluant l'algorithme de Harker et Pang, peut requérir n itérations pour converger.
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