Surrogate-Assisted Bounding-Box Approach for Optimization Problems with Approximated Objectives
Le framework SABBa pour les problèmes d’optimisation avec des objectifs approximés
Résumé
In this work, we present a novel framework to perform multi-objective optimization, when considering an error on the objective functions. In many engineering optimization problems, the computation of the objective functions are affected by an error arising from the model employed for the computation. For example, in the case of uncertainty-based optimization the objective functions are statistics of a performance of interest which is uncertain due to the variability of the system input variables.
These estimated objectives are affected by an error, which can be modeled with a confidence interval. The framework proposed here is general and aims at dealing with any error affecting a given objective function. The strategy is based on the extension of the Bounding-Box concept to the Pareto optima, where the error can be regarded with the abstraction of an interval (in one-dimensional problems) or a Bounding-Box (in multi-dimensional problems) around the estimated value. This allows the computation of an approximated Pareto front, whose accuracy is strongly dependent on the acceptable computational cost. This approach is then supplemented by the construction of an evolutive surrogate model on the objective functions, iteratively refined during the optimization process. This allows ultimately to further reduce the computation cost of the Pareto front with approximations of the objective functions at a negligible cost.
The validation of the proposed method is accomplished first by proving the mathematical convergence toward the true continuous Pareto front under some hypothesis.
Secondly, a numerical algorithm is proposed and its performances are assessed on several numerical test-cases.
Results are systematically compared to a simple Double-loop approach and to the classical Bounding-Box method.
Dans ce papier, nous présentons un nouveau cadre permettant la résolution
d’optimisation multi-objectifs tout en considérant un bruit sur les fonctions objectifs. Dans la majorité
des problèmes d’optimisation en ingénierie, le calcul des fonctions objectifs s’accompagne
intrinsèquement d’une erreur provenant du modèle employé. Par exemple, les fonctions objectifs
d’un problème d’optimisation sous incertitudes sont des moments statistiques estimés sur les
fonctions de sortie, incertaines de par les variabilités d’entrée. Ces objectifs approximés sont donc
affectés par une erreur, qui peut être représentée par un intervalle de confiance. Le cadre proposé
ici reste général et aspire a pouvoir traiter avec des erreurs de n’importe quelle origine sur les
fonctions objectifs. La stratégie repose sur l’extension du concept de Boîtes d’erreur conservatives
aux optima de Pareto, avec une erreur interprétée comme un intervalle (dans les problèmes
mono-objectif) ou une Boîte conservative (dans les problèmes multi-dimensions) autour de la
valeur approximée. Cela permet d’approximer le front de Pareto, avec une précision fortement
dépendante du coût de calcul acceptable. Cette approche est de plus couplée à la construction
d’un modèle de substitution évolutif sur les fonctions objectifs, raffiné itérativement pendant le
processus d’optimisation. Cela permet de réduire à nouveau la coût global de l’optimisation grâce
à des approximations lues directement sur le modèle de substitution, pour un coût négligeable.
La validation de la méthode proposée se fera tout d’abord en prouvant formellement la convergence
vers le vrai front de Pareto continu sous quelques suppositions. Ensuite, un algorithme
est proposé et appliqué à plusieurs cas-test. Les résultats sont méthodiquement comparés à
l’approche Double-boucle directe et à la méthode des Boîtes d’erreur conservatives classique.
Domaines
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