Les distances et plus généralement les métriques invariantes sur un groupe fini, utilisées en particulier en statistique, sont étroitement liées aux idempotents de l'algèbre du groupe sur le semi-corps idempotent des réels min-plus. Comme dans le cas classique, les idempotents centraux (qui correspondent aux distances bi-invariantes) sont donnés par les caractères de représentations linéaires de ce groupe. Nous montrons que ces caractères s'obtiennent encore à partir de caractères irréductibles et que plus généralement les idempotents admettent une décomposition unique en somme d'idempotents minimaux. Nous déterminons de façon explicite les idempotents minimaux et nous donnons de même la construction des caractères irréductibles à partir des classes de conjugaison du groupe. Ce travail conduit en particulier à la mise en valeur d'une famille finie de métriques invariantes, à valeurs entières, engendrant toutes les autres : ce sont les métriques de Cayley associées aux sous-groupes monogènes. Les distances usuelles sur $ S_n $ s'interprètent alors facilement dans cette construction. Ces résultats se généralisent en partie aux groupes infinis.