Group representations in the homology of 3-manifolds
Résumé
If M is a manifold with an action of a group G, then the homology group H_1(M,Q) is naturally a Q[G]-module, where Q[G] denotes the rational group ring. We prove that for every finite group G, and for every Q[G]-module V, there exists a closed hyperbolic 3-manifold M with a free G-action such that the Q[G]-module H_1(M,Q) is isomorphic to V. We give an application to spectral geometry: for every finite set P of prime numbers, there exist hyperbolic 3-manifolds N and N' that are strongly isospectral such that for all p in P, the p-power torsion subgroups of H_1(N,Z) and of H_1(N',Z) have different orders. We also show that, in a certain precise sense, the rational homology of oriented Riemannian 3-manifolds with a G-action "knows" nothing about the fixed point structure under G, in contrast to the 2-dimensional case. The main geometric techniques are Dehn surgery and, for the spectral application, the Cheeger-M\"uller formula, but we also make use of tools from different branches of algebra, most notably of regulator constants, a representation theoretic tool that was originally developed in the context of elliptic curves.
Lorsque M est une variété munie d'une action d'un groupe G, le groupe d'homologie H_1(M,Q) est naturellement un Q[G]-module, où Q[G] désigne l'anneau de groupe rationnel. Nous prouvons que pour tout groupe fini G et pour tout Q[G]-module V, il existe une 3-variété fermée hyperbolique munie d'une action libre de G telle que le Q[G]-module H_1(M,Q) est isomorphe à V. Nous donnons une application à la géométrie spectrale: pour tout ensemble fini P de nombres premiers, il existe des 3-variétés hyperboliques N et N' qui sont fortement isospectrales mais telles que pour tout p dans P, les sous-groupes p-primaires de la torsion dans H_1(N,Q) et H_1(N',Q) sont d'ordre différents. Nous montrons également que, dans un certain sens précis, l'homologie rationnelle des 3-variétés riemanniennes orientées munies d'une G-action ne "sait" rien sur la structure des points fixes sous G, au contraire du cas de la dimension 2. Les principales techniques géométriques sont la chirurgie de Dehn et, pour l'application spectrale, la formule de Cheeger-Mueller, mais nous utilisons également des outils de différentes branches de l'algèbre, notamment les constantes de régulateurs, un outil de théorie des représentations qui a été développé à l'origine dans le contexte des courbes elliptiques.
