Formalization of the Arithmetization of Euclidean Plane Geometry and Applications - Inria - Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique Access content directly
Journal Articles Journal of Symbolic Computation Year : 2019

Formalization of the Arithmetization of Euclidean Plane Geometry and Applications

Abstract

This paper describes the formalization of the arithmetization of Euclidean plane geometry in the Coq proof assistant. As a basis for this work, Tarski's system of geometry was chosen for its well-known metamath-ematical properties. This work completes our formalization of the two-dimensional results contained in part one of the book by Schwabhäuser Szmielew and Tarski Metamathematische Methoden in der Geometrie. We defined the arithmetic operations geometrically and proved that they verify the properties of an ordered field. Then, we introduced Cartesian coordinates, and provided characterizations of the main geometric predicates. In order to prove the characterization of the segment congruence relation, we provided a synthetic formal proof of two crucial theorems in geometry, namely the intercept and Pythagoras' theorems. To obtain the characterizations of the geometric predicates, we adopted an original approach based on bootstrapping: we used an algebraic prover to obtain new characterizations of the predicates based on already proven ones. The arithmetization of geometry paves the way for the use of algebraic automated deduction methods in synthetic geometry. Indeed, without a " back-translation " from algebra to geometry, algebraic methods only prove theorems about polynomials and not geometric statements. However, thanks to the arithmetization of geometry, the proven statements correspond to theorems of any model of Tarski's Euclidean geometry axioms. To illustrate the concrete use of this formalization, we derived from Tarski's system of geometry a formal proof of the nine-point circle theorem using the Gröbner basis method. Moreover , we solve a challenge proposed by Beeson: we prove that, given two points, an equilateral triangle based on these two points can be constructed in Euclidean Hilbert planes. Finally, we derive the axioms for another automated deduction method: the area method.
Cet article décrit la formalisation de l'arithmétisation de la géométrie du plan euclidien dans l'assistant de preuve Coq. Le système géométrique de Tarski a été choisi comme base pour ce travail, en raison de ses propriétés méta-mathématiques bien connues. Ce travail complète notre formalisation des résultats bidimensionnels contenus dans la première partie du livre de Schwabhäuser Szmielew et Tarski Metamathematische Methoden in der Geometrie. Nous avons défini les opérations arithmétiques de manière géométrique et prouvé qu'elles vérifient les propriétés d'un corps ordonné. Ensuite, nous avons introduit les coordonnées cartésiennes et fourni des caractérisations des principaux prédicats géométriques. Afin de prouver la caractérisation de la relation de congruence des segments, nous avons fourni une preuve formelle synthétique de deux théorèmes cruciaux en géométrie, à savoir le théorème de Thales et le théorème de Pythagore. Pour obtenir les caractérisations des prédicats géométriques, nous avons adopté une approche originale basée sur le bootstrapping : nous avons utilisé un prouveur algébrique pour obtenir de nouvelles caractérisations des prédicats sur la base de celles déjà prouvées. L'arithmétisation de la géométrie ouvre la voie à l'utilisation de méthodes de déduction algébrique automatisée en géométrie synthétique. En effet, sans une " rétro-traduction " de l'algèbre vers la géométrie, les méthodes algébriques ne prouvent que des théorèmes sur les polynômes et non des énoncés géométriques. Cependant, grâce à l'arithmétisation de la géométrie, les énoncés prouvés correspondent aux théorèmes de n'importe quel modèle des axiomes de la géométrie euclidienne de Tarski. Pour illustrer l'utilisation concrète de cette formalisation, nous avons dérivé du système de géométrie de Tarski une preuve formelle du théorème du cercle des neuf points en utilisant la méthode des bases de Gröbner. De plus, nous résolvons un défi proposé par Beeson : nous prouvons que, étant donné deux points, un triangle équilatéral basé sur ces deux points peut être construit dans les plans de Hilbert euclidiens. Enfin, nous dérivons les axiomes d'une autre méthode de déduction automatisée : la méthode des aires.
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Dates and versions

hal-01483457 , version 1 (05-03-2017)

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Cite

Pierre Boutry, Gabriel Braun, Julien Narboux. Formalization of the Arithmetization of Euclidean Plane Geometry and Applications. Journal of Symbolic Computation, 2019, Special Issue on Symbolic Computation in Software Science, 90, pp.149-168. ⟨10.1016/j.jsc.2018.04.007⟩. ⟨hal-01483457⟩
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