Finding Optimal Formulae for Bilinear Maps
Recherche automatique de formules pour calculer des formes bilinéaires
Résumé
This talk will focus on the bilinear rank problem: given a bilinear map (e.g., the product of polynomials, of finite-field elements, or of matrices), what is the smallest number of multiplications over the coefficient ring required to evaluate this function?
For instance, Karatsuba's method allows one to compute the product of two linear polynomials using only three multiplications instead of four. In this talk, we give a formalization of the bilinear rank problem, which is known to be NP-hard, and propose a generic algorithm to efficiently compute exact solutions, thus proving the optimality of (or even improving) known complexity bounds from the literature.
Dans cet exposé, nous nous intéressons au problème du rang bilinéaire : étant donnée une application bilinéaire (par exemple, le calcul d’un produit de polynômes, d’éléments d’un corps fini, ou encore de matrices), quel est le nombre minimal de multiplications sur le corps de base nécessaires pour évaluer cette application ?
Ainsi, par exemple, la méthode de Karatsuba permet de calculer le produit de deux polynômes linéaires en seulement trois multiplications au lieu de quatre. Nous donnons dans cet exposé une formalisation du problème du rang bilinéaire, connu pour être NP-dur, et proposons un algorithme général permettant de calculer efficacement des solutions exactes, qui nous permettent ainsi de prouver l’optimalité de, voire même d’améliorer certaines bornes de la littérature.
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